SEMESTRE

SETTIMANA

  LEZIONE

ARGOMENTI

II

Settimana 1

 (2 ore)- 1/03/16

· “Differential Geometry” Lipschutz, Collana Schaum (è in biblioteca).

· Richiami e notazione standard (cap. 1-2).

· Parametrizzazioni in E^n come funzioni vettoriali x:U -> E^n, ove U connesso di R oppure R^2.

· Dominio di definizione ed insieme immagine (o insieme traccia) di una parametrizzazione.

· Esempi: rette e piani di E^n, coniche di E^2, cubica gobba di E^3 (e’ una curva sghemba), il paraboloide a sella z=xy in E^3 (ha 2 schiere di rette)

· Parametrizzazioni regolari: significato geometrico. Vettore velocità (o tangente) di una parametrizzazione regolare (Do Carmo, p.2)

· Punti singolari di una parametrizzazione, i.e. dove il vettore velocità e’ nullo (Do Carmo p. 2). Esempi: parabola semicubica e singolarità cuspidale.

· Punti multipli del supporto di una parametrizzazione che invece è regolare, i.e. punti di non iniettività della parametrizzazione (Do Carmo, p.2). Esempi: cubica piana nodale.  La circonferenza unitaria come parametrizzazione regolare ma numero di avvolgimento infinito. 

· Se x: I → E^n e’ una parametrizzazione regolare, localmente e’ anche iniettiva (Teorema 3.1, Lipschutz, con dimostrazione). 

 (2 ore)-3/03/2016

· Cambiamenti ammissibili di parametro (CAP). Teorema 3.2 (Lipschutz, con dimostrazione). Esempi e controesempi.

· Rappresentazioni parametriche regolari EQUIVALENTI.  E’ una relazione di equivalenza.

· Curva regolare. Curva regolare semplice.

· Proprietà non intrinseche di una curva regolare (velocità, verso di percorrenza, ecc). Proprietà intrinseche di una curva regolare (semplicità, o piu’ in generale numero di avvolgimenti).

· Elica circolare in E^3: e’ curva regolare semplice sghemba contenuta in un cilindro circolare retto con generatrici parallele all’asse z. Passo dell’elica circolare.

· Esempi di curve regolari piane in E^3 contenute non in un piano coordinato.

· Arco regolare di curva, estremi dell’arco regolare.

· Curva regolare orientata.

· Proiezioni ortogonali di curve regolari in E^3 su piani coordinati e non. Cilindri proiettanti.

· Esempio: proiezione della cubica gobba sui piani coordinati (parabola, cubica e parabola semi-cubica).

II

Settimana 2

(2 ore)-10/03/2016.

· “Matrici e Vettori”,  Flamini-Verra, Carocci Ed., cap. 13 (e’ in biblioteca).

· Quadrica in E^3: classe di proporzionalità. Equazione cartesiana di una quadrica.

· Quadrica in E^3 e supporto di una quadrica. Quadriche a punti reali, a punti immaginari, quadriche puntiformi, piani doppi, eccetera.

· Matrice simmetrica completa A* associata all’equazione cartesiana di una quadrica e matrice simmetrica A della forma quadratica associata ad una quadrica.

· Matrice completa M* associata ad un'affinità o ad un’isometria x = My + d di E^3. Sostituzione lineare di indeterminate  nell’equazione cartesiana di una quadrica e legge di trasformazione matriciale.

· Invarianti metrici (od affini di una quadrica) S: rango di una quadrica (rg(S)) e rango della forma quadratica (rg(Q_S)) di una quadrica S.

· Quadriche generali, semplicemente degeneri, doppiamente degeneri, triplamente degeneri: esempi per ogni classe (dimensione dei luoghi singolari)

· Forme canoniche metriche di una quadrica e forme canoniche affini di una quadrica.

· Quadriche generali (rg(S) =4): il segno di det(A*) è un invariante metrico (od affine). Paraboloidi (se rg(Q_S) =2) o quadriche a centro (rg(Q_S) = 3)

· Quadriche generali a centro:  ellissoidi (se Q_S(x) si annulla solo per x=0) o iperboloidi (altrimenti)

· Quadriche semplicemente degeneri: coni (se rg(Q_S) = 3) o cilindri (se rg(Q_S) < 3). Cilindri ellittici, iperbolici o parabolici. 

· Esempi.

II

Settimana 3

 (2 ore)-17/03/2016

· Piano tangente T_q(S) ad un punto reale q di una quadrica S: parte lineare dello sviluppo di Taylor dell’equazione cartesiana  P(x_1, x_2, x_3) = 0 di S in q.  

· Punti singolari e punti lisci di una quadrica. Significato geometrico di quadriche generali, semplicemente, doppiamente e triplamente degeneri in termini del luogo singolare di una quadrica.

· La sezione piana tangenziale di una quadrica e’ sempre una conica degenere. Punti ellittici, iperbolici e parabolici di una quadrica. Esempi.

· Significati delle tabelle di forme canoniche metriche ed affini di quadriche.

· Esercizi svolti: costruzione della parametrizzazione della Cissoide di Diocle in parametro t non naturale, parametrizzazione non regolare per t=0, parametrizzazione semplice, equazione cartesiana cubica della Cissoide di Diocle, simmetrie della Cissoide, asintoti della Cissoide, grafico della Cissoide, l’origine e’ un punto cuspidale (singolare) per la Cissoide, la generica retta per l’origine ha “molteplicita’ di intersezione 2” con la Cissoide, la retta x_2 = 0 ha “molteplicita’ di intersezione 3” con la Cissoide e x_2 = 0 e’ la tangente principale alla Cissoide in O.

II

Settimana 4

 (2 ore)-22/03/2016.

· Ellissoide generale a punti reali : forma canonica metrica ed affine, invarianti metrici ed affini, centro di simmetria, piani di simmetria e assi di simmetria, sezioni con piani paralleli ai piani coordinati, disegno del supporto dell’ellissoide, condizioni affinchè sia rotondo rispetto ad uno degli assi coordinati, quadrica non-singolare, sezione tangenziale in un punto come ellisse puntiforme.

· Ellissoide generale a punti immaginari : forma canonica metrica ed affine, invarianti metrici ed affini, centro di simmetria, piani di simmetria e assi di simmetria.

· Ipeboloide generale ellittico : forma canonica metrica ed affine, invarianti metrici ed affini, centro di simmetria, piani di simmetria ed assi di simmetria, asse trasverso ed assi non trasversi, sezioni con piani paralleli ai piani coordinati, disegno del supporto dell’ipeboloide (è a due falde), condizioni affinchè sia rotondo rispetto all’asse trasverso, quadrica non singolare, sezione tangenziale in un punto del supporto come ellisse puntiforme.

· Esercizi svolti: (a) Costruzione della parametrizzazione della Versiera di M. G. Agnesi  V(t) in parametro t non naturale, parametrizzazione regolare e semplice, equazione cartesiana cubica della Versiera (sia in forma implicita che in forma esplicita x_1 = f(x_2)), simmetrie della Versiera, asintoti della Versiera, grafico della Versiera, versore tangente per t=1 e retta tangente alla Versiera nel punto V(1), vettore curvatura k(t) in parametro non naturale e calcolo della curvatura, determinazione dei due flessi della Versiera per mezzo della espressione x_1 = f(x_2), versore normale principale nel punto V(1) non di flesso e retta normale alla Versiera nel punto V(1).

(b) Cicloide: parametrizzazione non naturale C(t), non regolare in ogni valore del parametro t= 2 k pigreco, lunghezza della Cicloide da C(pigreco/2) a C(pigreco), calcolo di un’ascissa curvilinea di punto iniziale t=0, determinazione di una parametrizzazione naturale C*(s) della Cicloide dalla parametrizzazione originaria C(t).  

II

Settimana 5

II

Settimana 6

(2 ore)-7/04/2016.

· Ipeboloide generale iperbolico: forma canonica metrica ed affine, invarianti metrici ed affini, centro di simmetria, piani di simmetria e assi di simmetria, assi trasversi ed asse non trasverso, sezioni con piani paralleli al piano X_3 = 0, Ellisse di gola, disegno del supporto dell’ipeboloide (è ad una falda), condizioni affinche’ sia rotondo rispetto all’asse non trasverso, quadrica non singolare, sezione tangenziale in un punto del supporto come iperbole degenere. L’iperboloide contiene rette. 

· Esercizi svolti: (a) Curva in IE^3 definita implicitamente, luogo di non regolarità, deduzione di una parametrizzazione per mezzo di una delle tre coordinate con il rango della matrice Jacobiana, archi di curva regolari semplici e sghembi in parametro non-naturale.

(b) Cubica gobba x(t) = (t, t^2/2, t^3/3), triedro di Frenet, modulo della curvature k(t) e torsione tau(t) nel punto x(t); equazioni cartesiane e parametriche di piano osculatore, normale e rettificante nel punto x(t), equazioni cartesiane della retta tangente, della retta normale principale e della retta binormale nel punto x(1), equazione cartesiana della curva proiezione ortogonale della cubica gobba sul piano X_2 + X_3-2= 0 per mezzo del cilindro proiettante, equazioni parametriche cartesiane di una circonferenza con centro in x(1) e raggio R= |x’(1)| (isometrie).

II

Settimana 7

(2 ore)-14/04/2016.

· Ipeboloide generale iperbolico: è doppiamente rigato, rette di una medesima schiera sono sghembe, rette di due schiere diverse sono sempre incidenti, per ogni punto della quadrica passa una retta della prima schiera ed una retta della seconda schiera (che coincidono con l’iperbole degenere sezione tangenziale in quel punto).

· Esercizio svolto: Conica C in IE^2, cerchi osculatori in punti di C, equazioni parametriche e cartesiane dell’evoluta di C, equazioni parametriche della indicatrice sferica delle tangenti a C, chiusura proiettiva di C vedendo IE^2 < IP^2 come carta dove x_0 è diverso da zero, essendo [x_0, x_1, x_2] coordinate omogenee in IP^2. Descrizione della mappa duale per mezzo delle derivate parziali in x_0, x_1, x_2, equazione cartesiana della curva duale C* di C per mezzo delle derivate parziali omogenee (identità di Eulero).

II

Settimana 8

(2 ore)-21/04/2016

· Teoria: carte affini principali di IP^2, U_0, U_1, U_2, che sono i tre piani affini fondamentali di IP^2. Polinomi omogenei di grado n nelle indeterminate x_0, x_1, x_2 e curve algebriche piane proiettive di grado n.  Identità di Eulero di un polinomio omogeneo F(x_0, x_1, x_2) = 0 di grado n. Omogeneizzazione di un polinomio non omogeneo f(x,y) di grado n , come completamento proiettivo della curva algebrica affine f(x,y) = 0 nella carta affine U_0. De-omogeneizzazione di un polinomio omogeneo F(x_0, x_1, x_2) come curva algebrica affine traccia in U_0  della curva algebrica proiettiva F(x_0, x_1, x_2) = 0. Retta tangente affine in un punto non singolare della curva algebrica affine f(x,y) = 0 nella carta affine U_0 e completamento proiettivo di tale retta. Piano proiettivo duale (IP^2)* e coordinate omogenee [u_0, u_1, u_2]. Relazione di incidenza punto retta in IP^2 x (IP^2)*: u_0x_0 + u_1x_1 + u_2x_2 = 0. Interpretazioni geometriche in IP^2 ed in (IP^2)*. Descrizione della mappa duale di una curva piana  data da F(x_0, x_1, x_2) = 0 di grado n omogeneo per mezzo delle derivate parziali di F; la mappa duale e’ costante se F(x_0,x_1, x_2) = 0 e’ una retta; la mappa duale non e’ definita nelle singolarita’ di F(x_0,x_1, x_2) = 0. 

· Esercizio svolto:  (a) Cubica algebrica piana C data da f(x,y) = 0: determinazione e classificazione delle sue singolarità: ha una unica singolarità nodale, calcolo delle tangenti principali nel nodo, deduzione di una parametrizzazione x(t) di C in A^2 per mezzo del fascio di rette per il punto singolare, studio dei punti impropri di C con il completamento proiettivo di C, flessi all’infinito e tangente inflessionale all’infinito di C, determinazione di una parametrizzazione x*(t) della curva duale C* di C nella carta affine dove u_0 è diverso da zero di IP^2*.

Esercizio Proposto: Classificazione di una quadrica: iperboloide iperbolico; calcolo esplicito delle famiglie di rette nella doppia rigatura, retta esterna all’iperboloide che e’ secante in due punti P, Q, individuazione delle rette delle due schiere passanti per P: sia utilizzando le equazioni delle schiere sia con la sezione tangenziale in P. 

II

Settimana 9

(2 ore)-28/04/2016.

· Paraboloide generale ellittico : forma canonica metrica ed affine, invarianti metrici ed affini, vertice, piani di simmetria ed asse di simmetria, parametrizzazione di Monge, sezioni con piani paralleli ai piani coordinati e corrispettive linee nel piano dei parametri (u,v), supporto del paraboloide, condizioni affinchè sia rotondo rispetto all’asse di simmetria, quadrica non singolare, sezione tangenziale in un punto del supporto come ellisse puntiforme. Con parametrizzazione di Monge: tutti i punti sono ellittici. 

· Paraboloide generale iperbolico : forma canonica metrica ed affine, invarianti metrici ed affini, vertice, piani di simmetria e asse di simmetria, parametrizzazione di Monge, sezioni con piani paralleli ai piani coordinati e corrispettive linee nel piano dei parametri (u,v), disegno del supporto del paraboloide, non può essere rotondo, quadrica non singolare, sezione tangenziale nel vertice del supporto come iperbole degenere. Con parametrizzazione di Monge: tutti i punti sono iperbolici. E’ doppiamente rigato: rette di una schiera sono sghembe, rette di schiere diverse sono incidenti. Per ogni punto della quadrica passa una retta della prima schiera ed una retta della seconda schiera. Rette di una medesima schiera sono parallele ad una giacitura fissata, i.e. descrivono il fascio di rette a cento per O nella giacitura (comportamento differente dalle direzioni delle rette delle due schiere dell’iperboloide iperbolico).  

· Esercizi svolti:  (a) Equazione cartesiana di un cono ottenuto per rotazione attorno ad una retta s (asse di rotazione) di una retta r ad essa incidente: come luogo di paralleli.

(b) Equazioni parametriche e cartesiana di un cono ottenuto per rotazione attorno all’asse z (asse di rotazione) di s ad esso incidente: isometria di rotazione di angolo parametrico k attorno Span(e_3) ed eliminazione dei due parametri

( c ) Equazione del cono proiettante dal vertice V=(1,1,1) la conica x^2+z^2+ 2x – 2z = 0 = y

(d) Superficie rigata di direttrice d(u) = (u, 0, u^2) e campo vettoriale di generatrici g(u) = (0, 1, u^2 –u) : equazioni parametriche e cartesiane. Determinazione della generatrice g(P) per il punto P= (1,1,1) e di una direttrice per P: linee corrispondenti nel piano dei parametri (u,v). Equazioni parametriche e cartesiane del piano tangente alla rigata in P= (1,1,1). Stabilire se la rigata è una rigata sviluppabile circoscritta ad una curva o se è una rigata gobba: g(P) è una generatrice non speciale. Stabilire la natura dei punti della rigata: con lo studio dei coefficienti della II FQF, la linea parabolica è la generatrice che si ottiene come immagine della linea coordinata u=1/2, altrimenti tutti gli altri punti sono iperbolici.

ESERCIZIO PROPOSTO: equazioni parametriche del Toro ottenuto facendo ruotare una circonferenza nel piano z=0 di centro C=(a,0,0) e raggio r <a, attorno all’asse y. Preso P= (r-a,0,0), calcolo del piano tangente in P al toro T; piano tangente a tutti i punti delle immagini delle linee coordinate nel piano dei parametri (u,v) (meridiani e paralleli).

 II

Settimana 10

(2 ore)-05/05/2016.

· Quadriche semplicemente degeneri. Coni quadrici e cilindri quadrici: forma canoniche metriche ed affini, invarianti metrici ed affini, vertice, piani di simmetria, asse di simmetria, centri di simmetria.

· Coni: cono immaginario: quadrica puntiforme (l’origine e’ il supporto singolare). Cono reale: è rigato per via del fascio di piani di asse l’asse x_3; i vettori direttori delle rette della rigatura non sono paralleli ad una giacitura fissata. Sezioni con i piani paralleli ai piani coordinati. Parametrizzazioni di Monge: e’ il cono di vertice l’origine proiettante una qualsiasi delle ellissi direttrici nei piani della forma x_3 = k, con k non nullo. Il luogo non regolare della parametrizzazione e’ proprio il vertice. Condizione affinchè sia rotondo e parametrizzazione di Monge come superficie di rotazione di una retta attorno all’asse x_3. Sezioni tangenziali nei punti regolari: la sezione è una parabola doppiamente degenere ed infatti  i piani tangenti sono costanti lungo le generatrici. Con il calcolo dei coefficienti della II FQF, tutti i punti regolari sono in effetti parabolici e le generatrici sono le direzioni asintotiche.

· Cilindri: cilindro immaginario (o quadrica vuota); cilindro ellittico, iperbolico e parabolico. Quadrica semplicemente degenere perchè il vertice (improprio) è nel punto all’infinito dato dalla direzione delle generatrici parallele. Sezioni parallele ai piani coordinati. Sono superfici rigate. Il cilindro ellittico reale può essere rotondo (condizioni affinchè lo sia). Parametrizzazioni di Monge dei cilindri reali. Sono tutti a punti parabolici ed il piano tangente è costante lungo ciascuna generatrice.

· Esercizi Svolti:  (a) Superficie S in IE^3 con parametrizzazione di Monge: determinazione del luogo di regolarità. Stabilire se S è rigata; in caso di risposta affermativa, quali linee del piano dei parametri (u,v) individuano le generatrici: le generatrici sono le linee v ed il luogo non regolare e’ la linea v=0.

(b) Classificazione dei punti regolari di S: sono tutti parabolici. 

( c ) Calcolo del piano tangente in un punto regolare arbitrario: il piano tangente e’ indipendente dal parametro v, quindi e’ costante lungo tutte le generatrici. Pertanto ogni generatrice e’ speciale. S e’ una rigata sviluppabile. Dall studio del luogo di non regolarita’ e del campo vettoriale delle direzioni, S e’ necessariamente la sviluppabile delle tangenti circoscritta alla linea v=0.

(d)  Studio di una sezione piana per un punto P di S: viene una curva piana con una cuspide in P. In effetti P e’ sulla linea v= 0 che e’ SPIGOLO DI REGRESSO per S.

(e) Il piano tangente a S in un qualsiasi punto Q regolare per S coincide con il piano osculatore alla linea v=0 nel punto di tangenza tra la linea v=0 e la generatrice di S passante per Q. 

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II

Settimana 11

(2 ore)- 12/05/2016.

· Quadriche doppiamente e triplamente degeneri.

· Forme canoniche metriche ed affini: Esistono 17 tipologie di quadriche euclidee. In ciascuna delle tipologie (1)-(16), esistono infinite forme canoniche metriche non congruenti. Le 17 tipologie di quadriche affini coincidono invece con le 17 forme canoniche affini delle quadriche

· Esercizi svolti: (a) Polinomio di II grado in x_1, x_2, x_3; classificazione per mezzo degli invarianti metrici. E’ un cilindro iperbolico. Determinazione delle direzioni delle generatrici con sezione tangenziale in un punto (parabola doppiamente degenere luogo di punti parabolici). Determinazione della generatrice per un punto P e di una generatrice per il punto P.

(b)  Polinomio di II grado in x_1, x_2, x_3; classificazione per mezzo degli invarianti metrici. E’ un paraboloide ellittico. Riduzione a forma canonica metrica per mezzo del Teorema spettrale e di opportune traslazioni. Isometria esplicita che porta la quadrica a sua forma canonica metrica. Riduzione a forma canonica affine per mezzo delle coordinate di Sylvester: affinità che trasforma la quadrica originale nella sua forma canonica affine.

( c )  Parametrizzazione di Monge x(u,v) = (u, u^2 v, u^2 + v^2). Luogo di regolarità U. Il punto P=(1,0) nel piano dei parametri è nel luogo regolare. Calcolo delle direzioni asintotiche in P: sono immaginarie coniugate quindi P e’ ellittico. Calcolo di curvatura Gaussiana, media e delle curvature principali in P. La linea v = 1-u^2 è una curva C tutta contenuta nel luogo regolare e passa per P. C e’ piana in  S= x(U) : calcolo del piano che la contiene. Cacolo della curvatura normale e della curvatura di C in P per mezzo della formula k_n = k cos(alpha) 

II

Settimana 12

(2 ore)-19/05/2016.

· Esercizi Svolti:  (a) Ancora su parametrizzazione x(u,v) = (u, u^2 v, u^2 + v^2). Calcolo della curvatura normale in P della curva piana C trovata la volta scorsa, per mezzo di II e I FQF. Calcolo della curvatura di C in P per mezzo della curvatura normale e dei versori normali di C in P e di S = x(U) in P.

(b)  Parametrizzazione di Monge x(u,v) = (u,v,uv): classificazione dei punti della superficie  x(IR^2) = S < IE^3.

( c )  S in equazione cartesiana z=xy: e' un paraboloide iperbolico. Classificazione via matrici simmetriche.  

(d) Riduzione di S a forma canonica metrica e descrizione della doppia rigatura (trovo che le rette della rigatura sono le immagini delle linee u e delle linee v)

II

Settimana 13

(2 ore)-26/05/2016.

· Esercizi Svolti:  (a) Ancora su parametrizzazione x(u,v) = (u, v, uv). Curvature principali nel punto P= (1,1,1)

(b) rispettive direzioni principali (sono direzioni ortogonali; giustificazioni via indicatrici di Dupin, via Teorema di Eulero e via autovalori di operatore autoaggiunto di Weingarten su T_P(S)). Tangenti principali in P.  

( c )  Direzioni asintotiche in P e tangenti asintotiche in P.  

(d) Le linee asintotiche sono le rette della rigatura di S, quindi immagini delle linee cordinate u= u_0 e v=v_0 nel piano dei parametri.

(e)  Linee di curvatura: forma differenziale al primo ordine definente le linee di curvatura e curve integrali primitive delle forme differenziali date.

(f) Per una superficie connessa, compatta, regolare, di classe C^k, k >1, esiste necessariamente un punto P per cui K(P) >0.

(g) Non esistono in IE^3 superfici connesse, compatte, di classe C^k, k >1, che siano minime.

ESERCIZIO PROPOSTO: In una superficie elementare, una geodetica che e’ anche linea di curvatura e’ necessariamente una curva piana.

ESERCIZIO PROPOSTO: In una superficie elementare, una geodetica (non retta) che e’ piana e’ necessariamente una linea di curvatura.

ESERCIZIO PROPOSTO: Esibire un esempio di superficie elementare, contenente una linea di curvatura piana che non e’ geodetica.