SEMESTRE

SETTIMANA

  LEZIONE

ARGOMENTI

I I

Settimana 1

 (2 ore)-1/03/2016

· TEORIA Isometrie: Dispense Ciliberto-Tovena ON-LINE, paragrafo 4.6 (on-line)

· Isometrie di uno spazio euclideo E. Is(E) e’ un sottogruppo di Aff(E). Is(E) e gruppo ortogonale O(n, IR).

· Movimenti di uno spazio euclideo E. Mov(E) e’ un sottogruppo di Is(E). Mov(E) e gruppo speciale ortogonale SO(n,IR).

· Interpretazione geometrica delle colonne di una matrice ortogonale A in termini di base ortonormale dello spazio vettoriale euclideo V(E) e di det(A) in termini di orientazione di suddetta base. 

· Isometrie della retta euclidea E^1.

· Simmetria rispetto ad una retta r di E^2. Simmetria rispetto ad un iperpiano di E^n.

 (2 ore)-2/03/2016

· TEORIA Isometrie di E^2 con un punto fisso (od unito) C: rotazione di un angolo t attorno a C se isometria diretta, oppure ribaltamento rispetto ad una retta r passante per C se isometria inversa.

· Se ribaltamento rispetto r, la retta r e’ una direzione privilegiata della isometria (di autovalore 1) mentre la retta perpendicolare a r per C è l’altra direzione privilegiata (di autovalore -1)

· Glissoriflessioni. Caraterizzazione delle isometrie di E^2 (Teorema di Chasles con dimostrazione, da dispense 2005/2006)

· Rotazione in E^3 attorno a rette orientate (tranne per t = 180 gradi). Rotazione di angolo t attorno a Span(e_1): matrice rappresentativa nel riferimento canonico.  

 (2 ore)-4/3/2016

· TEORIA Rotazione in E^3 attorno ad una retta vettoriale orientata mediante un versore u: utilizzo delle matrici cambiamento di base tra due basi ortonormali. La matrice inversa si sostituisce con la trasposta e la relazione di similitudine diventa una relazione di congruenza.

· Rotazione in E^3 attorno ad una qualsiasi retta orientata dello spazio: traslazioni.

· Formulazione intrinseca (senza utilizzo di matici rispetto a basi) di una rotazione attorno ad una retta vettoriale orientata da un versore u (formula (4.60)).

· Proposizione 4.8.2 (solo enunciato)

· Complessificazione di uno spazio vettoriale reale: Dispense Ciliberto-Galati-Tovena 2015 ON-LINE & Testo “Algebra Lineare”, C. Ciliberto, p. 198

· V_C complessificazione di uno spazio vettoriale reale V: costruzione. Vettori reali e vettori puramente immaginari.

· V identificabile all’R-sottospazio vettoriale di V_C dei vettori puramente reali.  

· L’omotetia omega_i di moltiplicazione per i e’ un automorfismo di V_C che trasforma l’R-sottospazio vettoriale V di V_C nell’R-sottospazio vettoriale iV dei vettori puramente immaginari.

· V ed iV sono isomorfi come R-spazi vettoriali e V_C ha una decomposizione come R-spazio vettoriale in somma diretta in V + iV.

· dim_C (V_C) = dim_R (V) e dim_R(V_C ) = 2 dim_R(V).

· Base (o riferimento) reale di V_C.

II

Settimana 2

 (2 ore)-11/03/2016

· ESERCITAZIONI

· Isometrie notevoli di E^2: rotazione di angolo dato attorno ad un punto, trasformazioni di una retta e di una circonferenza sotto rotazione.

· Riflessioni rispetto ad un piano di E^3: equazioni parametriche e cartesiane della riflessa di una retta rispetto ad un piano.

· Martice rappresentativa in base canonica di V(E^2) della riflessione rispetto ad un sottospazio Span(v): relazione di congruenza tra matrici.

· Determinazione dell'asse di rotazione e dell'angolo di rotazione (attorno a tale asse) di una matrice in SO(3, R).

· C-indipendenza lineare di vettori in C^3. 

I I

Settimana 3

 (2 ore)-15/03/2016

· ESERCITAZIONI

· C-indipendenza lineare e cambiamenti di basi in C-spazi vettoriali.

· Prodotto scalare complessificato e vettori isotropi.

· Piano complessificato, punti e vettori liberi.

· Equazioni parametriche e cartesiane di rette nel piano e nello spazio complessificato.

· Punti e rette reali in E^2_C. Rette e rette coniugate in E^2_C

I I

Settimana 4

 (2 ore)-22/03/2016.

· ESERCITAZIONI

· Fasci di rette a centro in E^2_C e condizioni lineari sul fascio.

· Rette reali per un punto non reale di E^2_C ed E^3_C.

· Rette isotrope in E^2_C per un punto non reale. Distanza tra due punti di una retta isotropa. 

· Equazioni parametriche e cartesiane reali di rette reali nello spazio E^3_C.

· Retta r di I specie in E^3_C: piano reale per r.

· Retta s di II specie in E^3_C: retta per un punto che sia incidente alle due rette sghembe r e la sua coniugata.

I I

Settimana 5

(2 ore)-01/04/2016.

· TEORIA Testo “Algebra Lineare”, C. Ciliberto, Cap. 11

· IK-spazio vettoriale quoziente V/W di un IK-spazio vettoriale V modulo un suo sottospazio W: struttura delle classi laterali (varietà lineari) e struttura di spazio vettoriale.  

· Epimorfismo quoziente p: V -> V/W di nucleo W. dim(V/W) = dim(V) – dim(W).   Esempi geometrici.

· I Teorema di omomorfismo (Thm, 11.6). Fibre di un morfismo di spazi vettoriali (Cor. 11.7) Legame con il teorema di struttura delle soluzioni di un sistema lineare non omogeneo compatibile.

· II Teorema di omomorfismo (Thm. 11.8) e conseguenze su spazi vettoriali somma (o somma diretta) di suoi sottospazi.  

· Sottospazi di V/W (Prop. 11.11). Conseguenze: teorema del doppio quoziente (Prop. 11.12)

II

Settimana 6

(2 ore)-08/04/2016.

· TEORIA Testo “Algebra Lineare”, C. Ciliberto, Cap. 11

· Proiezioni su un sottospazio W secondo la direzione di un sottospazio supplementare a W, endomorfismi idem potenti di uno spazio vettoriale V (Prop. 11.13).

· ESERCITAZIONI

· Spazi vettoriali quozienti, identificazone delle classi laterali e di basi del quoziente

· Coordinate di una classe [v] in V/W rispetto ad una base selezionata di V/W.

· Omomorfismi indotti al quoziente e matrici rappresentative. 

· Prodotti scalari f e matrice rappresentativa M_e(f) , vettori f-isotropi e vettori f-ortogonali. 

· Basi f-ortogonali di V contenenti un vettore dato v: calcolo di U_v complemento f-ortogonale a Span(v), riferimento f-regolare per U_v ed utilizzo dell’algoritmo di Gram-Schmidt.  La base determinata non e’ f-ortonormalizzabile su IR.

· Rango di un prodotto scalare f: è una proprietà intrinseca. Rappresentazione in basi differenti per mezzo di congruenza. Prodotti scalari f non definiti.

· Forma quadratica Q_f associata ad un prodotto scalare f. Riduzione di Q_f a forma diagonale per mezzo dell’algoritmo di Jacobi-Lagrange: determinazione esplicita del riferimento diagonalizzante Q_f e determinazione dei cambiamenti di coordinate in tutti i passi intermedi.

· Riduzione a forma canonica normale di Q_f, base di Sylvester e formule di cambiamento delle coordinate. 

I I

Settimana 7

(2 ore)-12/04/2016

· TEORIA Testo “Algebra Lineare”, C. Ciliberto, Cap. 16

· Sottospazi W di un IK-spazio vettoriale V che sono f- invarianti, F in End(V). Morfismo indotto su W e su V/W. Matrici a blocchi. Esempi: omotetie di modulo (o rapporto) k e loro caratterizzazione.  

· Autovalori ed autovettori di un endomorfismo f.

· Autospazio A(f,k) di autovalore k per f: e’ un sottospazio f-invariante. Molteplicità geometrica g(f,k) dell’ autovalore k.

· Polinomio caratteristico di un endomorfismo (Prop. 16.4). Radici caratteristiche di un endomorfismo e Spettro di un endomorfismo.

· Esempi: Spettro di una omotetia, operatori privi di auto valori nel campo IK. Esempi: rotazioni in IR^2 di angolo diverso da h pigreco, h intero.

· ESERCITAZIONI

· Ampliamento dello spazio affine, punti impropri di rette affini, chiusura proiettiva di rette affini. Rette affini parallele e chiusura proiettiva delle rette affini incidenti.

· Rette proiettive: equazioni cartesiane e parametriche in coordinate omogenee.

II

Settimana 8

(2 ore)-19/04/2016.

· TEORIA Testo “Algebra Lineare”, C. Ciliberto, Cap. 16

· polinomi caratteristici di endomorfismi con sottospazi invarianti.

· Molteplicità algebrica a(f,k) di un autovalore k per f. Relazione con la molteplicità geometrica (Prop. 16.6).

· Ricerca di autovettori ed autovalori di un operatore. Esempi.

· Diagonalizzazione di endomorfismi. Condizioni equivalenti per la diagonalizzabilità (Teorema 16.10, e Proposizione 16.12)

· Esempi e controesempi (dipendenti dal campo IK e non).

Settimana 9

(2 ore)-28/04/2016.

· TEORIA Testo “Matrici e Vettori”, F. Flamini & A. Verra, Cap. 11

· Operatori autoaggiunti in uno spazio vettoriale euclideo reale. La matrice rappresentativa di un operatore autoaggiunto T in una qualsiasi base ortonormale è simmetrica. Controesempi in basi non ortonormali.

· Matrici simmetriche e forme quadratiche

· Se u e’ un autovettore di un operatore auto aggiunto T, allora l’ortogonale ad u e’ un sottospazio T-stabile (Lemma 11.2)

· Teorema spettrale degli operatori autoaggiunti: (i) Lo spettro di T è reale; (ii) Esiste una base ortonormale di V costituita da auto vettori di T (Teorema 11.3).

· Conseguenze su diagonalizzabilità di: matrici simmetriche, forme quadratiche ed operatori auto aggiunti (Teorema 11.4)

· Autospazi relativi ad autovalori distinti di un operatore autoaggiunto sono ortogonali (Teorema 11.5)

· Esercizi svolti settimana IX  Esercizi su diagonalizzabilità di forme quadratiche reali e calcolo della isometria esplicita diagonalizzante (sul testo)

II

Settimana 10

(2 ore)-03/05/2016.

· TEORIA Testo “Algebra Lineare”, C. Ciliberto, Paragrafi 16.15 & 16.16

· Triangolazione di endomorfismi (Teorem 16.14)

· Il teorema di Hamilton- Cayley (Thm. 16.18) SOLO ENUNCIATO.

· Conseguenza: coefficienti del polinomio caratteristico e minori principali (Teorema 16.26) SOLO ENUNCIATO

· ESERCITAZIONI

· Esercizi su proiettività degeneri; determinazione del luogo di indeterminazione della proiettività degenere; ricostruzione della proiettività degenere come opportuna proiezione su un sottospazio lineare della giusta dimensione e che e' sghembo rispetto al centro di proiezione.

· Immagine di un sottospazio lineare che interseca il centro di proiezione.

II

Settimana 11

(2ore) -13/05/2016.

ATTIVITA’ DIDATTICA ANNULLATA DALLA MACROAREA

Messaggio RICEVUTO: Date: Thu, 12 May 2016 12:58

Ai Prof. Ordinari, Ai Prof. Associati, Ai Ricercatori

Cari Colleghi, in segno di cordoglio per la drammatica scomparsa del nostro studente Dario Cedrone si dispone la sospensione della didattica per la giornata di venerdì13 maggio.Si pregano i Direttori di informare il personale non docente

Il Coordinatore della Macroarea di Scienze MFN

Prof.ssa Olga Rickards

II

Settimana 12

(2 ore)-20/05/2016.

· TEORIA Testo “Algebra Lineare”, C. Ciliberto, Paragrafi 16.10 & 17.1

· Polinomio minimo di una matrice. La nozione è invariante per coniugio. Polinomio minimo di un operatore.

· Esempi in cui polinomio minimo è divisore proprio del polinomio caratteristico in IK[x] ed esempi in cui i due polinomi coincidono a meno del segno.

· L’insieme degli zeri distinti del polinomio minimo nella chiusura algebrica di IK coincide con lo spettro dell’operatore. Conseguenze.

· Endomorfismi nilpotenti ed endomorfismi a spettro nullo (Prop. 17.1). Ordine di un operatore od indice di nilpotenza.

· Endomorfismi ciclici (caratterizzazione con ordine di nilpotenza SOLO ENUNCIATO). Esempi

· Teorema di decomposizione di un endomorfismo nilpotente (Teo. 17.4 SOLO ENUNCIATO).

· ESERCITAZIONI

· Esercizio svolto: dualità in IP^3. Duali di punti, rette e piani. Condizioni di appartenenza e questioni grafiche. Proposizioni autoduali. 

· Esercizio proposto: punti in IP^2 in posizione generale, punti in IP^2 allineati, calcolo del bi rapporto di 4 punti allineati su una retta in IP^2.

 II

Settimana 13

(2 ore)-24/05/2016.

· TEORIA Testo “Algebra Lineare”, C. Ciliberto, Paragrafo 17.2

· Vettori radice di un endomorfismo relativi ad un autovalore k. 

· R(f,k) sottospazio radice dell’endomorfismo f relativo all’autovalore k: esso è f-invariante ed è il sottospazio di dimensione massima su cui l'endomorfismo f – omega_k si restringe ad un endomorfismo nilpotente (Prop. 17.5).

· Blocco di Jordan J(k) relativo ad un autovalore k.

· Sottospazi radici relativi ad autovalori distinti sono linearmente indipendenti (Cor. 17.8 e Prop 17.9 SOLO ENUNCIATO).

· Per ogni autovalore k di f, lo spazio vettoriale R(f,k) ha dimensione pari alla molteplicità algebrica a(f,k) di k (Prop. 17.10 SOLO ENUNCIATO). 

· Teorema di riduzione a forma canonica di Jordan di un endomorfismo con spettro nel campo. Relazione tra molteplicità geometrica g(f,k), molteplicità algebrica a(f,k), molteplicità dell’autovalore k come radice del polinomio minimo M_f(t) con il numero di blocchi & la forma dei blocchi di Jordan relativi all'autovalore k (Teo. 17.13 e Prop. 17.20 SOLO ENUNCIATO).

· ESERCITAZIONI

· Esercizio svolto: riduzione a forma canonica di Jordan di un endomorfismo su IR^4.

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II

Settimana  14

(2 ore)-31/05/2016

· ESERCITAZIONI

· Conica proiettiva: classificazione. Determinazione della tangente in un punto non singolare. Determinazione delle tangenti da un punto esterno.

· Conica proiettiva C e conica duale C*. Coniche affini C_0, C_1 e C_2 che sono traccia, nelle rispettive carte affini U_0, U_1 e U_2, della conica proiettiva C. Classificazione delle coniche affini C_0 (iperbole), C_1 (ellisse) e C_2 (parabola). Individuazioni degli asintoti e del centro di simmetria di C_0; descrizioni dei diametri di C_0 e relazione di coniugio tra diametri.

· Riduzione a forma canonica metrica di una conica euclidea reale. Determinazione di tutte le isometrie coinvolte. Equazioni esplicite di assi di simmetria, semiassi, e centro di simmetria. Individuazione del supporto. Riduzione a forma canonica affine. Determinazione di tutte le affinità coinvolte.

· Equazione della circonferenza per tre punti non allineati in IE^2 e tangente in uno dei tre punti.

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