SEMESTRE

SETTIMANA

  LEZIONE

ARGOMENTI

I

Settimana 1

1 (1 ora)-30/09/2014

· Teoria ingenua degli insiemi. Quantificatori universali

· Prodotto cartesiano fra due insiemi 

· Relazioni di equivalenza su un insieme. Classi di equivalenza e rappresentanti

· Applicazioni fra insiemi: dominio, codominio ed insieme immagine. Applicazioni iniettive, suriettive e biiettive. Controimmagini (o fibre) di un elemento del codominio.

· Grafico di un’applicazione.

· Esempi

Nella seconda ora si e’ svolta la lezione magistrale del Presidente CCS in aula 2001. L’ora persa è stata recuperata venerdì 17/10/2014. 

2 ( 2 ore)-1/10/2014

· Sistemi lineari di m equazioni in n indeterminate SL(m,n;IR). Sistemi omogenei associati SLO(m,n;IR).

· Sistemi lineari compatibili ed incompatibili. Sistemi lineari equivalenti (relazione di equivalenza). Esercizi e significati geometrici.

· Matrice A dei coefficienti di un SL(m,n;IR). Matrice completa C di un SL(m,n;IR)

· Operazioni elementari sulle righe di una matrice completa di un SL(m,n;IR) e sistemi equivalenti

· Matrici quadrate: matrice triangolare superiore, matrice diagonale. La matrice identità.

· Esempi

3 ( 2 ore)-3/10/2014

· Matrici e sistemi a scala superiore. Pivots.

· Metodo di risoluzione a ritroso.

· Algoritmo di riduzione a scala (o dell'Eliminazione di Gauss)

· Svolgimento esercizi

· Esercizi riepilogativi di settimana I proposti agli studenti: FOGLIO 1 sul sito web

I

Settimana 2

4 (2 ore)-7/10/2014.

· Operazioni tra matrici.

· Prodotto riga per colonna tra matrici: compatibilità, non commutatività, esistenza di zero-divisori.

· Scrittura di sistemi lineari SL(m,n;IR) con notazione di prodotto matriciale. Teorema di struttura dello spazio selle soluzioni di un sistema lineare compatibile.

· Trasposta di una matrice. Proprietà della trasposizione.

· Matrici simmetriche ed antisimmetriche.

· Esempi.

5 (2 ore)-8/10/2014.

· Matrici elementari. Il prodotto righe per colonne (a sinistra) per matrici elementari determina le operazioni lementari tra le righe di una matrice.

· Matrici invertibili. Se esiste, l’inversa di una matrice è univocamente determinata.

· SL(n,n; IR) con matrice A dei coefficienti invertibile: è compatibile con unica soluzione (senza Eliminazione di Gauss). 

· Condizione sufficiente per l’invertibilità di una matrice A in termini di SL(n,n; IR) compatibili.

· Determinante di matrici 1x1, 2x2 e 3x3 (metodo di Sarrus).

·Esempi.

6.

· I valutazione in itinere: consegna esercizi riepilogativi di settimana I e II proposti agli studenti da riconsegnare al docente Versione pdf

· Esercizi riepilogativi di settimana II proposti agli studenti : FOGLIO 2 sul sito web

I

Settimana 3

7 (2 ore)-14/10/2014

· Sviluppo del determinante secondo la regola di Laplace.

· La funzione determinante e’ antisimmetrica rispetto alle righe (o colonne) di una matrice.

· La funzione determinante è lineare nelle righe (equiv. nelle colonne) della matrice.  

· Conseguenze importanti.

· Determinante della trasposta di una matrice e determinante di una matrice triangolare superiore.

· Esempi.

8 (2 ore)-16/10/2014

· Determinante e trasformazioni elementari. 

· Teorema di Binet.

· CNES per l’invertibilità di una matrice in termini del determinante. Determinante della matrice inversa.  

· Calcolo dell’inversa di una matrice per mezzo della matrice aggiunta (o trasposta dei complementi algebrici)

· Conseguenze sui SL(n,n;IR) Ax = b con A matrice invertibile.

· Esempi.

9 (2 ore)-17/10/2014

· Recupero di 1 ora di teoria (del 30/09/2014 per svolgimento lezione Magistrale Presidente CCS) :  Metodo di Cramer per la risoluzione di sistemi quadrati SL(n,n;IR) Ax = b con A invertibile.

· 1 ora EXTRA-CARICO DIDATTICO : esercitazione da parte del docente

· Esercizi riepilogativi di settimana III proposti agli studenti: FOGLIO 3 sul sito web

I

Settimana 4

10 (2 ore)-21/10/2014.

· Esercitazioni al corso: Dott.ssa G. Terenzi.

11 (2 ore)-22/10/2014.

· Spazi vettoriali reali. 

· Esempi: IR^n, M(m,n;IR), spazio delle soluzioni di Ax = 0, polinomi IR[x], polinomi IR[x] con grado limitato, funzioni continue da un dominio I a valori in IR, eccetera.

· Sottospazi vettoriali di uno spazio vettoriale V.   Esempi geometrici.

· Combinazione lineare di vettori di V.

· Vettori linearmente indipendenti e vettori linearmente dipendenti.

· Significati geometrici.

12 (2 ore)-24/10/2014.

· Sistemi liberi (o indipendenti) di vettori. 

· Span(S). Ha sempre una struttura di sottospazio vettoriale.

· Sistema di generatori per uno spazio vettoriale.

· Spazi vettoriali finitamente generati. Esempi e contro esempi. 

· Esempi di sistemi non generanti e non liberi, di sistemi generanti non liberi,  di sistemi liberi non generanti.

· Basi di uno spazio vettoriale f.g.

· Base canonica di IR^n

· Coordinate di un vettore rispetto ad una base. Esempi di cambiamenti di coordinate.

· Esercizi riepilogativi di settimana IV proposti agli studenti: FOGLIO 4 sul sito web

I

Settimana 5

13 (2 ore)-28/10/2014

· Esercitazioni al corso: Dott.ssa G. Terenzi.

14 (2 ore)-29/10/2014.

· Teorema di estrazione di una base (finita) da un sistema finito di generatori di V.

· Teorema di estensione (o completamento) di un sistema libero finito di V ad una base finita di V.

· La cardinalità delle basi di uno spazio vettoriale è costante. Definizione di DIMENSIONE di uno spazio vettoriale f.g. 

· Dimensione di: IR^n, M(m,n;IR), Triangsup(n,n;IR), Diag(n,n;IR), Sym(n,n;IR), Antisym(n,n;IR), IR[X]_{<= d}.

· Basi “canoniche” dei precedenti spazi.

· Varie basi di IR^n.

15 (2 ore)-31/10/2014.

· Minori di ordine k di una matrice rettangolare A mxn.

· Rango di una matrice A: numero massimo di righe (o colonne) indipendenti di A.

· Applicazioni alla dimensione di sottospazi di IR^n generati dalle colonne di A o di sottospazi definiti da equazioni omogenee di righe di A. 

· Intersezione di due sottospazi U e W di uno spazio vettoriale V, somma di due sottospazi U e W di V.

· L’intersezione e la somma hanno una struttura di sottospazio vettoriale.

· Esercizi riepilogativi di settimana Vproposti agli studenti : FOGLIO 5 sul sito web

I

Settimana 6

16 (2 ore)-4/11/2014.

· Formula di Grassmann.

· Somma diretta di sottospazi. Significato geometrico sull’unicità delle scritture. Esempi e controesempi

· Matrice A associata ad una k-upla di vettori di IR^n. Dimensione del luogo generato per mezzo  del rango di A. Determinazione di una base.

· Equazioni parametriche di un sottospazio proprio di IR^n.

· Equazioni cartesiane di un sottospazio proprio di IR^n.

· Passaggio dalle une alle altre. Utilizzo del Teorema di Kronecher per la determinazione di equazioni cartesiane da equazioni parametriche.

· Esempi ed esercizi. 

17 (2 ore)-5/11/2014.

· Sottospazi affini di IR^n.

· Equazioni cartesiane e parametriche di sottospazi affini di IR^n. Rilettura in termini di compatibilità di SL(m,n;IR) e rango di matrice dei coefficienti.

· Scrittura intrinseca S = c + V. V e’ univocamente determinato da S, c no. Esempi

· La differenza di due punti su S appartiene a V.  

· Applicazioni: passaggio da equazioni parameriche ad equazioni cartesiane per mezzo di condizioni sul rango di una matrice (Kronecher). Equazioni di rette e piani affini in IR^n.

· Vettore direttore di una retta affine.

· Esempi ed esercizi. 

18 (2 ore)-7/11/2014.

 · Sottospazio affine di IR^n generato da k+1 punti. Caso di k+1 punti in posizione generale lineare.

· Applicazioni: equazioni parametriche e cartesiane (condizione matriciale) in IR^n di: retta per due punti distinti, piano per 3 punti non allineati, ecc.

· Sottospazi affini paralleli. Esempi

· Applicazioni lineari tra spazi vettoriali. Applicazione L(A) associata ad una matrice A in M(m,n;IR).

· Nucleo di un'applicazione lineare (Ker(L)). Immagine di un'applicazione lineare (Im(L)). Struttura di sottospazi.

· Esempi ed esercizi. 

·  Esercizi riepilogativi di settimana VI proposti agli studenti: FOGLIO 6 sul sito web

I

Settimana 7

19 (2 ore)-11/11/2014

·Esercitazioni al corso: Dott.ssa G. Terenzi.

20 (2 ore).-12/11/2014

· Ker(L) è la fibra del vettore nullo di W.

· Per L(A): IR^n-> IR^m: dim (Im(L(A))) = rg(A) . Ker(L(A) = spazio delle soluzioni del sistema omogeneo Ax = 0.

· Iniettività e suriettività di L in termini di Ker(L) e Im(L).

· Rango di L.

· Teorema di Nullità piu Rango (Prop. 12.13 sulle dispense)

· Teorema di Rouché-Capelli: rilettura di compatibilità e dimensione dello spazio delle soluzioni di Ax=b in termini di applicazioni lineari, nucleo ed immagine.

· Esempi ed esercizi. 

21 (2 ore)-14/11/2014

· Corrispondenza biunivoca tra matrici ed applicazioni lineari in Hom(IR^n, IR^m).

· Composizione di applicazioni e prodotto tra matrici.

· Applicazione lineare C_b = associazione coordinate rispetto ad una base b.

· Trasformazioni (od operatori od endomorfismi) su uno spazio vettoriale.

· Autovalori, autovettori, autospazi

· Un autovettore e' autovettore per un unico autovalore

·  Esercizi riepilogativi di settimana VII proposti agli studenti: FOGLIO 7 sul sito web

I

Settimana 8

22 (2 ore)-18/11/2014.

· Esercitazioni al corso: Dott.ssa G. Terenzi.

23 (2 ore)-19/11/2014.

· Autovettori relativi ad autovalori distinti sono vettori indipendenti

· La somma di autospazi relativi ad autovalori distinti è una somma diretta.

· Spettro di un operatore.

· Polinomio caratteristico di un applicazione L(A), con A matrice quadrata nxn. Traccia e determinante di A.

· Calcolo di autovalori e di autospazi di un operatore L(A).

· Molteplicità algebrica e geometrica di un autovalore: la molteplicità geometrica e' minore od uguale a quella algebrica (dimostrazione da fare in seguito, vedasi Settimana 9)

· Autovalori ed autovettori di potenze di L(A^k) in funzione di quelli di L(A).

· Consegna II valutazione in itinere Versione pdf

24 (2 ore)-21/11/2014.

· Paragrafo 14 e Pagine 96-97 di Approfondimenti: Matrici rappresentative di applicazioni lineari

· A = M_{b,c}(L) = Matrice rappresentativa di un’applicazione lineare L: V->W in una base b di V ed una base c di W (Def. 14.2 e Oss. 14.5, 14.6)

· C= M_{e,f} = Matrice cambiamento di base da una base e ad una base f su uno spazio vettoriale V.

· Formula cambiamento delle coordinate: x = Cy e y = C^{-1}x (Prop. 15.4, 15.7)

· Matrici rappresentative di L: V-> W in basi b, c per V e basi e, f per W. FORMULA:  M_{c,f}(L) =  M_{b,c}^{-1} M_{b,e}(L) M_{e,f} (Pagine 96,97)

· Caso particolare per T operatore su V: se e ed f sono due basi di V e se C = M_{e,f} matrice cambiamento di base, allora M_{f,f}(T) = C^{-1} M_{e,e}(T) C (Prop. 15.6, 15.8)

· Matrici coniugate. Relazione di coniugio.

· Due matrici quadrate rappresentano lo stesso operatore T in basi diverse se e solo se le due matrici rappresentative sono fra di loro CONIUGATE.

· Esercizi riepilogativi di settimana VIII proposti agli studenti: FOGLIO 8 sul sito web

Settimana 9

25 (2 ore)-25/11/2014.

· Esercitazioni al corso: Dott.ssa G. Terenzi.

26 (2 ore)-26/11/2014.

· Paragrafo 15: Problema della diagonalizzabilità.

· Basi diagonalizzanti di un operatore.

· Il polinomio caratteristico e' invariante per classi di coniugio. Polinomio caratteristico di un operatore T, spettro di un operatore T, traccia di un operatore T, determinante di un operatore T, ecc.

· Dimostrazione del Teorema 13.7: la molteplicità geometrica di un autovalore e' minore od uguale a quella algebrica

· CNES di diagonalizzabilità di un operatore T in termini dello Spettro di T e delle molteplicità algebriche e geometriche dei suoi autovalori.

· Caso particolare degli autovalori semplici.

· Potenza n-esima di una matrice diagonalizzabile.

· Esempi ed esercizi. 

27 (2 ore)-28/11/2014.

· Capitolo II - Geometria euclidea del piano vettoriale IR^2

· Il piano euclideo. Segmenti orientati. Relazione di equivalenza tra segmenti orientati. Vettori Geometrici di IR^2.

· Prodotto scalare (standard) in IR^2. Proprietà

· Norma ||v|| di un vettore v di IR^2. Proprietà.

· Deduzione della formula della distanza fra due punti del piano cartesiano: d(P,Q) = || OQ – OP||

· Diseguaglianza di Cauchy-Schwarz. Coseno dell'angolo convesso tra due vettori in IR^2. Vettori ortogonali.

· Diseguaglianza triangolare.

· Proiezione ortogonale di un vettore v lungo la retta vettoriale Span(w).

· Versori. Versorizzazione di un vettore. Basi ortogonali ed ortonormali di IR^2.

· Matrici C cambiamento di base tra due basi ORTONORMALI sono matrici ORTOGONALI, i.e. C^t C = Id.

· Se C matrice ortogonale, det C= + 1 oppure -1 (significati geometrici in termini di angoli convessi e angoli orientati)  

· Esercizi riepilogativi di settimana IX proposti agli studenti: FOGLIO 9 sul sito web

I

Settimana 10

28 (2 ore)-02/12/2014.

· Esercitazioni al corso: Dott.ssa G. Terenzi.

29 (2 ore)- 03/12/2014.

· Aree di parallelogrammi: formula determinantale.

· Capitolo II – Paragrafo 2. Rette nel piano cartesiano IR^2. Formule di Geometria euclidea.

· Punto medio di un segmento nel piano cartesiano

· Equazioni parametriche e cartesiane di una retta nel piano cartesiano: passaggio dalle une alle altre.

· Vettore normale ad una retta nel piano cartesiano.

· Intersezioni: rilettura in termini di sistemi lineari.

· Deduzione di formule di Geometria Affine/Euclidea: retta per un punto e parallela/perpendicolare ad un'altra; condizioni di parallelismo e perpendicolarità; proiezione ortogonale di un punto su una retta; distanza punto-retta; asse di un segmento, bisettrice di un angolo, baricentro, incentro, ortocentro e circumcentro di un triangolo.

· Circonferenze: equazioni cartesiane e parametriche.

30 (2 ore)-05/12/2014

· TESTO: Flamini-Verra, Paragrafo 7.6 Cenni su alcune trasformazioni notevoli del piano cartesiano.

· Equazioni di traslazioni in IR^2.

· Equazioni di rotazioni di angolo t attorno all'origine O in IR^2. Equazioni di rotazioni attorno ad un punto P qualsiasi.

· Matrici ortogonali speciali (o isometrie dirette)

· Equazioni di riflessioni rispetto ad un punto P

· Equazioni di riflessioni rispetto ad una retta r.

· Matrici ortogonali non speciali (o isometrie inverse)

· Equazioni di dilatazioni.

· Affinità ed isometrie: nozione di Geometria Affine e di Geometria Euclidea

· Esercizi riepilogativi di settimana X proposti agli studenti: FOGLIO 10 sul sito web

I

Settimana 11

31 (2 ore)-09/12/2014.

· Esercitazioni al corso: Dott.ssa G. Terenzi.

32 (2 ore)-10/12/2014.

· Geometria euclidea dello vettoriale IR^3

· Lo spazio euclideo. Segmenti orientati. Relazione di equivalenza tra segmenti orientati. Vettori Geometrici di IR^3.

· Prodotto scalare (standard) in IR^3. Norma ||v|| di un vettore v di IR^3. Proprietà. Deduzione della formula della distanza fra due punti del piano cartesiano: d(P,Q) = || OQ – OP||

· Coseno dell'angolo convesso tra due vettori in IR^3. Vettori ortogonali. Proiezione ortogonale di un vettore v lungo la retta vettoriale Span(w). Versori. Versorizzazione di un vettore. Basi ortogonali ed ortonormali di IR^3.

· Prodotto vettoriale di IR^3. Proprietà. Norma di un prodotto vettoriale. Significati geometrici.

 · Prodotto misto in IR^3.

· Basi positivamente (o negativamente) orientate.

· Volume di un parallelepipedo e formula determinantale

33 (2 ore)-12/12/2014.

· Rette e piani nello spazio cartesiano IR^3.

· Equazioni parametriche e cartesiane di un piano nello spazio cartesiano: passaggio dalle une alle altre.

· Equazioni parametriche e cartesiane di una retta nello spazio cartesiano: passaggio dalle une alle altre.

· Parallelismo tra rette, tra piani, tra retta e piano.

· Vettore normale ad un piano. Piano vettoriale normale ad una retta.

· Deduzione di alcune formule di Geometria Affine/Euclidea: parallelismo tra rette, tra piani e tra retta e piano; retta per due punti; piano per tre punti non allineati; retta per un punto perpendicolare ad un piano, piano perpendicolare ad una retta per un punto

· Esercizi riepilogativi di settimana XI proposti agli studenti: FOGLIO 11 sul sito web

I

Settimana 12

34 (2 ore)-16/12/2014.

· Esercitazioni al corso: Dott.ssa G. Terenzi.

35 (2 ore)-17/12/2014.

· Distanza punto-piano

· Distanza punto-retta

· Rette sghembe in IR^3

· Distanza tra due rette sghembe

· Intersezioni: rilettura in termini di sistemi lineari.

·Consegna III valutazione in itinere Versione pdf

36 (2 ore)-19/12/2014.

· TESTO: Flamini-Verra, Paragrafo 8.6 Cenni su alcune trasformazioni notevoli dello spazio cartesiano.

· Equazioni di traslazioni in IR^3.

· Equazioni di rotazioni di angolo t attorno a Span(e_1) in IR^3.

· Equazioni di rotazioni di angolo t attorno ad una qualsiasi retta vettoriale orientata in IR^3.

· Equazioni di rotazioni di angolo t attorno ad una qualsiasi retta orientata in IR^3.

· Equazioni di riflessioni rispetto a punti, rette e piani.

· Equazioni di dilatazioni.

· Isometrie dirette ed inverse di IR^3 e matrici ortogonali (speciali e non). Affinità. Geometria Educlidea ed Affine.

· Esercizi riepilogativi di settimana XII proposti agli studenti : FOGLIO 12 sul sito web

Settimana 13

37 (2 ore)-06/01/2015.

· Festivita' Natalizie

38 (2 ore)-07/01/2015.

· Geometria euclidea dello spazio vettoriale IR^n, n>3.

· Prodotto scalare (standard) in IR^n. Norma ||v|| di un vettore v di IR^n. Proprietà. Diseguaglianza di Cauchy-Schwartz e triangolare.

· Coseno dell'angolo convesso tra due vettori in IR^3. Vettori ortogonali. Versori. Versorizzazione di un vettore.

· Basi ortogonali ed ortonormali di IR^n.

· Sottospazio ortogonale ad un sottoinsieme di vettori IR^n: struttura di sottospazio vettoriale.

· Complemento ortogonale di un sottospazio di IR^n. Somma diretta ortogonale.

· Proiezione ortogonale di un vettore su un sottospazio.

· Procedimento di ortonormalizzazione di Gram-Schmidt.

39 (2 ore)-09/01/2015.

· Determinazione di basi ortonormali di sottospazi di IR^n per mezzo del procedimento di Gram-Schmidt.

· Endomorfismi triangolarizzabili: CNES per la triagolarizzabilita' di endomorfismi tramite basi ortonormali.

· Aggiunto T* di un operatore T di IR^n

· Operatori autoaggiunti

· Operatori ortogonali

· Esercizi riepilogativi di settimana XIII proposti agli studenti: FOGLIO 13 sul sito web

Settimana 14

40 (2 ore)- 13/01/2015.

· Esercitazioni al corso: Dott.ssa G. Terenzi.

41 (2 ore)-14/01/2016.

· Legami tra le nozioni di operatore diagonalizzabile, autoaggiunto ed ortogonale.

· Spettro di operatori ortogonali. Gli operatori ortogonali non necessariamente sono diagonalizzabili

· CNES affinchè un operatore T diagonalizzabile sia autoaggiunto (rispettivamente, ortogonale)

· Operatori normali. Esempi: operatori ortogonali ed operatori autoaggiunti.

· Se T e' normale, T e T* hanno stessi autovalori e stessi autospazi (Oss. 7.35)

42 (2 ore)-16/01/2016.

· Se T e' normale, autovettori corrispondenti ad autovalori distinti sono ortogonali (Prop. 7.6)

· Caratterizzazione di operatori diagonalizzabili in basi ortonormali (Teorema 7.38)

· Teorema spettrale degli operatori autoaggiunti (Thm. 7.39). Ci si riduce a dimostrare A simmetrica allora P_A(x) si fattorizza in potenze di binomi su IR (Dimostrazione esplicita in dimensione <=3, enunciato e cenni strategia per dim >=4)

· Applicazioni del Teorema spettrale: diagonalizzazione di matrici simmetriche.

· Esercizi riepilogativi di settimana XIV: FOGLIO 14 sul sito web