Calcolo delle Probabilità e Statistica   - Ingegneria  - a.a. 2019-2020, canale A-I
(dal 2/3/20  al  13/6/20)


Diario del corso  [tra parentesi i paragrafi del libro di testo, in rosso le lezioni fatte online,
                                   in azzurro gli argomenti ancora da svolgere, con le date dello scorso a.a.]


 4/3   Introduzione, sigma algebre, spazi di probabilità, assiomi, proprietà ( 2.1, 2.2).
13/3  (LEZ ONLINE) Probabilità condizionali, formula di Bayes. Indipendenza di eventi (2.3).

         Esercizi su:  indipendenza di eventi, probabilità condizionale, formula di Bayes.
18/3  (LEZ ONLINE) Calcolo combinatorio. Estrazioni con e senza rimpiazzo. Schema successo-insuccesso in n prove indipendenti (dipendenti),
         in ciascuna delle quali la probabilità condizionata del successo è costante (variabile). 
20/3  (LEZ ONLINE) Esercizi su:  calcolo combinatorio; estrazioni con e senza rimpiazzo, v.a. binomiale, ipergeometrica.
25/3  (LEZ ONLINE) Variabili aleatorie discrete e loro distribuzioni. V.a. di Bernoulli, binomiale, ipergeometrica (3.1, 3.2).
         Istante di primo successo in una sequenza di prove indipendenti in ciascuna delle quali la probabilità del succeso è costante.
         Distribuzione geometrica e proprietà di mancanza di memoria. Caratterizzazione della v.a. geometrica modificata e
         geometrica mediante la proprietà di mancanza di memoria (Appendice libro esercizi). Distribuzione di Poisson come limite di distribuzione binomiale.
27/3  
(LEZ ONLINE) Esercizi su v.a. Binomiale, Ipergeometrica, Geometrica, Uniforme.
 1/4  
(LEZ ONLINE) Densità congiunta di un vettore aleatorio bidimensionale; densità marginali. V.a. indipendenti (3.4).  Densità condizionale (3.4)
         Densità della somma di v.a. discrete (in particolare somma di v.a. binomiali e di Poisson, indipendenti). Distribuzione di Pascal (istante i-esimo successo).
 3/4  
 (LEZ ONLINE) Distribuzione di max(X,Y)min(X,Y)  (3.4). Distribuzione del max e min di due v.a. geometriche indipendenti.  
         Calcoli con densità:
calcolo di P( X >Y), P( X = kY), ove X e Y sono v.a. geometriche indipendenti, e è intero. Esercizi vari.
  8/4  
(LEZ ONLINE) Speranza matematica (o valor medio) di una v.a. discreta e sue proprietà;  media di v.a. uniforme,  di Bernoulli, binomiale, ipergeometrica,
         geometrica, di Poisson, di Pascal (3.5).  
10/4 
(LEZ ONLINE) Varianza di una v.a. discreta e sue proprietà;.momenti di una v.a. Disuguaglianza di Chebicev.
         Varianza di v.a. di Bernoulli, Binomiale, Geometrica, di Pascal, di Poisson, Ipergeometrica. Covarianza , coefficiente di correlazione e sue proprietà (3.6),
         V.a. correlate e scorrelate. Due v.a. indipendenti sono scorrelate, ma non  
è vero il viceversa: esempio di due v.a. scorrelate, ma dipendenti (3.6).
17/4  (LEZ ONLINE)  V.a. assolutamente continue, funzione di distribuzione, densità.  V.a. uniformemente distribuita su
[a,b];  v.a. esponenziale.
         Proprietà di mancanza di memoria della distribuzione esponenziale (
§ 4); una v.a. X > 0  assolutamente continua ha distribuzione esponenziale
         se e solo se gode della  proprietà di mancanza di memoria (Appendice libro esercizi). Densita' Normale o Gaussiana (inizio).
22/4  (LEZ ONLINE) Densità di Y = aX+b, Y =X^2, Y = g(X), con g(x)  monotona e derivabile, in funzione della densità di X
         Ancora sulla densità Normale; quantili della distribuzione normale. Densità Gamma. Teoremi di addizione per v.a. indipendenti, Gaussiane e Gamma.
24/4  (LEZ ONLINE) Momenti di una v.a. assolutamente continua. Media, varianza, covarianza, proprietà (§ 4).
         Disuguaglianza di Chebicev. Media e varianza delle v.a. ass. continue studiate. Momenti di ordine pari e dispari di una v.a. Gaussiana standard.
         Formula alternativa per il calcolo della media di una v.a. non negativa. Densità di Cauchy: un esempio di v.a. sprovvista di valor medio.

29/4  (LEZ ONLINE) Esercizi su: calcoli con densità per v.a. assolutamente continue unidimensionali.
6/5    (LEZ. ONLINE) Ancora esercizi su: calcoli con densità per v.a. assolutamente continue unidimensionali.  Densità  di max(X,Y) e min(X,Y).
         Densità di
max(X,Y) e min(X,Y), ove X e Y sono indipendenti ed esponenziali di parametri a e b, rispettivamente;           
         in particolare, 
min(X,Y) ha densità  esponenziale di  parametro a+b.
         Vettori aleatori bidimensionali ass. continui: funzione di distribuzione congiunta, densità congiunta. Densità  marginali. V.a. indipendenti  (§ 4).
 8/5   (LEZ. ONLINE)
X e Y sono indipendenti se e solo se f(x,y) = u(x) v(y).  Densità condizionale e media condizionale di X, dato  Y = y.
         Formula di convoluzione per la densità della somma di v.a. (con dimostrazione).
         Densità della somma di v.a. indipendenti, con distribuzione Gamma (con dim.) 
Densità  Beta.
         Densità della somma di v.a. indipendenti, con distribuzione normale (applicazione della formula di convoluzione, ma senza svolgere i calcoli)..
         Trasformazione di un vettore aleatorio (X,Y): formula per la densità congiunta di  (U,V) = G(X,Y).
         Verifica che l'integrale su R di  exp ( ̶  x^2 /2) / (2π) 1/2 = 1.
13/5  (LEZ. ONLINE) Densità di  Z= X+Y,  Z= X -Y,  Z = aX +bY +c.  Esercizi vari con densita' congiunte; densità condizionale e media condizionale di X, dato  Y = y.
          Densità
del quoziente Y/X.
15/5  (LEZ. ONLINE)  Densità del prodotto XY. Densità di Z = X/(X+Y), ove X e Y sono indipendenti e hanno legge Gamma; se X ~ Gamma (a,c), Y ~ Gamma (b,c), (X, Y indipendenti),
         allora
Z ha densità  Beta (a,b), con supporto in (0,1). Esercizi vari con v.a. continue bidimensionali.
20/5  (LEZ. ONLINE)  Esercizi vari con densita' di v.a. bidimensionali continue.
22/5  (LEZ. ONLINE)  Ulteriori esercizi con densita' di v.a. continue.
27/5  (LEZ. ONLINE) Convergenza di una successione di v.a. (quasi certamente, in probabilità, in distribuzione - cenni).
         Legge dei grandi numeri (LGN), applicazioni (
§ 5). Il metodo Montecarlo.
29/5  
(LEZ. ONLINE) Il teorema limite centrale (TLC)  e l'approssimazione normale (§ 5). Correzione di continuità nell'approssimazione normale.
3/6  
 (LEZ. ONLINE) Intervallo di confidenza per la media incognita di una distribuzione, di varianza nota, e di cui si conosce la media campionaria.
         Esercizi su TLC e  intervalli di confidenza. Correzione del Test assegnato il 24 maggio.
5/6    
(LEZ. ONLINE) Esercizi di riepilogo.
10/6  (LEZ. ONLINE)
Esercizi di riepilogo + Prova Test con Moodle.
12/6  (LEZ. ONLINE) Esercizi di riepilogo CHIUSURA DEL CORSO.


Non e'stato possibile svolgere i sottoelencati argomenti, come negli a.a. precedenti, per mancanza di tempo.
Retta di regressione.

Funzione di distribuzione di una v.a. Gamma col primo parametro, m,  intero (m-Erlangiana)  Il processo di Poisson. (§ 4).
Generatori aleatori e simulazione: generatori di numeri pseudo-random con assegnata distribuzione, a partire da
numeri pseudo-random uniformemente distribuiti in  
[0,1] (§ 4).  
Cenni ai vettori Gaussiani bidimensionali (in particolare: le marginali di un vettore
Gaussiano sono Gaussiane; v.a. Gaussiane sono indipendenti se e solo se sono scorrelate).