MESOLABIO



Il mesolabio è uno strumento inventato da Eratostene, matematico, geografo, filologo e direttore della biblioteca di Alessandia vissuto nel III secolo a.C., per calcolare in via approssimata due medie proporzionali tra due valori a e b dati: si tratta cioè di detrminare la lunghezza di un segmento x e di un segmento y tali che

a : x = x : y = y : b

Eratostene divenne cieco per una malattia agli occhi presa, nel corso di un viaggio sulle sponde del Nilo. Egli, che aveva coltivato appassionatamente l'astronomia, non pote' più contemplare il cielo ed ammirare l'incomparabile bellezza del firmamento nelle notti stellate. Lo splendore azzurro di Sirio non riusciva a penetrare l╣oscura nebbia che velava i suoi occhi. Sopraffatto dalla sciagura e incapace di sopportare il peso della cecita', il saggio si uccise lasciandosi morire di fame, chiuso nella sua biblioteca.
Malba Tahan, L'uomo che sapeva contare

Pare che questo strumento venisse conservato in un tempio sulla facciata del quale era riportata la dimostrazione geometrica alla base dello strumento. Esso poteva servire, tra le altre cose, a duplicare il cubo cioè a dertminare lo spigolo x di un cubo che abbia il volume doppio di un assegnato cubo. Se il cubo assegnato ha lo spigolo di lunghezza 1, allora, come già Ippocrate da Chio aveva osservato, x è uno dei due medi proporzionali tra 1 e 2

2 : y = y : x = x : 1

infatti in questo caso abbiamo

x2 = y    e    y2 = 2x

Così lo stesso Eratostene in un lettera che è giunta fino a noi, racconta al suo re Tolomeo III la sua scoperta

ERATOSTENE a Tolomeo salute.
Narrano che uno degli antichi poeti tragici facesse apparire sulla scena MINO nell'atto di far costruire una tomba a GLAUCO e che MINO accorgendosi che questa era lunga da ogni lato 100 piedi dicesse: "Piccolo spazio invero accordasi a un sepolcro di un re: raddoppialo conservando sempre la forma cubica, radoppia subito tutti i lati del sepolcro" Ora è chiaro che egli si ingannava. Infatti duplicando i lati una figura piana si quadruplica, mentre la solida si ottuplica. Allora anche fra i geometri fu agitata la questione in qual modo si potesse duplicare una data figura solida qualunque conservandone la specie. E questo problema fu chiamato duplicazione del cubo. Dopo che tutti furono per lungo tempo titubanti, per primo IPPOCRATE da Chio trovò che se tra due segmenti dei quali il maggiore sia doppio del minore si iscrivono due medie in proporzione continua, il cubo sarà duplicato e così tramutò una difficoltà in un'altra non minore.
Si narra poi che i Delii, spinti dall'oracolo a duplicare una certa ara, caddero nello stesso imbarazzo. Ed alcuni ambasciatori vennero inviati ai geometri che convivevano con PLATONE nell'Accademia, per eccitarli a cercare quanto era stato richiesto. Essi se ne occuparono con diligenza e si dice che, avendo cercato di inserire due medie tra due segmenti, ARCHITA da Taranto vi riuscisse col semicilindro ed EUDOSSO invece mediante certe linee curve. Questi furono seguiti da altri, nel rendere più perfette le dimostrazioni, non però nell'effetuare la costruzione ed accomodarla alla pratica, eccetuato forse MENECMO e con gra fatica.

Descrizione dello strumento
Il mesolabio di Earatostene è formato da tre pannelli uguali, rettangolari e scorrevoli: uno giallo, uno verde e uno azzurro. Ogni panello è dotato di una scala graduata divisa in gruppi di 5 tacche ciascuno da 0 a 60. I numeri vanno letti dal basso verso l'alto. Su ogni pannello è tracciata la diagonale. I pannelli estremi (il giallo e l'azzurro) possono essere traslati e anche parzialmente sovrapposti agendo col pulsante rosso in basso a sinistra. Le tre diagonali, durante il movimento, restano comunque parallele tra loro. Una corda rossa è sospesa tra l'estremo superiore sinistro del pannello giallo e una tacca che si può posizionare sulla scala graduata agendo sul puntino rosso. La corda è tenuta in tensione da un peso che la tende qualunque sia la posizione dei tre pannelli.

Funzionamento

  • Il parametro a è Ŕ fisso a= 60. Si posizione la tacca a sinistra del pannello azzurro scegliendo il valore del parametro b che si desidera 0 < b < 60 (la scala si conta dal basso verso l'alto)
  • Si sposta il pannellogiallo fino a quando la sua scala graduata (dalla parte interna), la diagonale del secondo pannello e la corda rossa convergono in un unico punto.
  • Si sposta il pannello azzurro fino a quando la sua diagonale, la scala graduata del pannello verde e la corda convergono in un unico punto.
  • L'operazione precedente produce uno spostamento della corda che potrebbe aver tolto la convergenza che avevamo raggiunto nel punto precedente. Si dovrÓ allora rispostare i due pannelli fino a raggiungere la contemporanea convergenza nei due casi.
  • Sulla scala del pannello giallo si legge il valore della x, mentre su quella del pannello verde quello della y. Risulterà 60:x = x:y = y:b

  • La figura seguente indica il calcolo delle due medie proporzionali quando a=60 b=40.

    La soluzione trovata è esatta fino alla prima cifra decimale. Infatti 60:52=1.15 , 52:46=1.13 , 46:40= 1.15.