Introduzione al flusso di Ricci e al moto per curvatura media
AVVISO: Si segnala agli interessati che dal 28 giugno al 3 luglio
2010 si
terra' un corso estivo dal titolo "Ricci flow and geometric applications"
con lezioni di G. Besson, M. Boileau, G. Tian e mie. Per maggiori
informazioni si puo' consultare il sito web della
fondazione CIME .
Argomenti lezioni passate
Richiami di calcolo tensoriale.
Ipersuperfici di uno spazio euclideo. Metrica, seconda forma
fondamentale, curvature. Derivata covariante di
campi vettoriali e tensoriali.
Geodetiche. Operatore di Laplace-Beltrami.
Varieta' astratte, spazio tangente, campi vettoriali. Varieta' riemanniane. Connessione di
Levi-Civita e derivata covariante associata. Tensore di Riemann e sue
proprieta'. Equazioni di Gauss. Curvatura di Ricci, curvatura scalare.
Curvature sezionali.
Richiami sulle equazioni paraboliche. Principio di massimo e di confronto.
Il caso di equazioni e sistemi di reazione-diffusione.
Moto per curvatura media. Esempi: soluzioni omotetiche, soluzioni
traslatorie. Esistenza e unicita' per temi piccoli.
Teorema di confronto. Formazione di
singolarita'. Singolarita' di tipo "neckpinch".
Equazioni soddisfatte dalle grandezze geometriche durante
il flusso. Invarianza della convessita'.
Il teorema di Huisken sulla convergenza a un punto di ipersuperfici
convesse. Formula di monotonia. Classificazione delle
singolarita' per ipersuperfici a curvatura media positiva.
Flusso di Ricci: definizione ed esempi. Flusso di Ricci: Soluzioni autosimilari (solitoni). Esistenza locale di
soluzioni. Condizioni sulla curvatura invarianti nel flusso. Varieta'
tridimensionali con curvatura di Ricci positiva.
Disuguaglianza di Hamilton-Ivey. Classificazione delle singolarita' in
dimensione tre. Il programma di Hamilton per la congettura di Thurston.
Prossime lezioni
La prossima (e ultima) lezione si terrà martedì 25 maggio,
alle ore 14:30, in aula 14.
Bibliografia
Geometria riemanniana
M.P. Do Carmo: Riemannian Geometry. Birkhäuser, 1992
S. Gallot, D. Hulin, J. Lafontaine: Riemannian Geometry. Springer, 2004
J.M. Lee, Riemannian Manifolds, Springer 1997.
Equazioni paraboliche
Nei libri citati sotto sul flussi di Ricci sono generalmente riassunti
i risultati generali sulle equazioni paraboliche che si utilizzano nella
teoria. Sul principio di massimo, una buona trattazione e' nel cap. 4 del
libro di Chow-Knopf citato sotto.
Moto per curvatura media
K. Ecker: Regularity theory for mean curvature flow. Birkhäuser,
2004.
M. Ritorè, C. Sinestrari: Mean curvature flow and isoperimetric
inequalities. Birkhäuser, 2010.
G. Huisken: Flow by mean curvature of convex surfaces into spheres. J.
Differential Geometry 20 (1984), 237--266. L'articolo si puo' ottenere
qui (se
collegati da server universitari).
Flusso di Ricci
R. Hamilton: Three-manifolds with positive Ricci curvature,
J. Differential Geom., 17 (1982), 255-306. L'articolo si puo' ottenere
qui .
R. Hamilton, The formation of singularities in the Ricci flow. Surveys in
differential geometry, Vol. II (Cambridge, MA, 1993), 7--136, Int. Press,
Cambridge, MA, 1995.
H.-D. Cao, B. Chow: Recent developments on the Ricci Flow, Bull. Amer.
Math. Soc. 36 (1999), 59--74.
(articolo di rassegna sul programma di Hamilton, che riassume la
situazione prima degli articoli di Perelman).
Il preprint è disponibile
qui .
B. Chow, D. Knopf: The Ricci flow: an introduction. Mathematical Surveys
and Monographs, 110. AMS, 2004.
B. Chow, P. Lu. L. Ni: Hamilton's Ricci flow. AMS, 2006.
P. Topping: Lectures on the Ricci flow. Cambridge Univ. Press, 2006. Una
versione preliminare del libro è disponibile sulla
pagina web
dell'autore.
Infine, le note
Geometric evolution equations , di O. Schnürer trattano argomenti
simili a quelli del nostro corso.