Introduzione al flusso di Ricci e al moto per curvatura media


AVVISO: Si segnala agli interessati che dal 28 giugno al 3 luglio 2010 si terra' un corso estivo dal titolo "Ricci flow and geometric applications" con lezioni di G. Besson, M. Boileau, G. Tian e mie. Per maggiori informazioni si puo' consultare il sito web della fondazione CIME .

Argomenti lezioni passate

Richiami di calcolo tensoriale.
Ipersuperfici di uno spazio euclideo. Metrica, seconda forma fondamentale, curvature. Derivata covariante di campi vettoriali e tensoriali. Geodetiche. Operatore di Laplace-Beltrami.
Varieta' astratte, spazio tangente, campi vettoriali. Varieta' riemanniane. Connessione di Levi-Civita e derivata covariante associata. Tensore di Riemann e sue proprieta'. Equazioni di Gauss. Curvatura di Ricci, curvatura scalare. Curvature sezionali.
Richiami sulle equazioni paraboliche. Principio di massimo e di confronto. Il caso di equazioni e sistemi di reazione-diffusione.
Moto per curvatura media. Esempi: soluzioni omotetiche, soluzioni traslatorie. Esistenza e unicita' per temi piccoli. Teorema di confronto. Formazione di singolarita'. Singolarita' di tipo "neckpinch". Equazioni soddisfatte dalle grandezze geometriche durante il flusso. Invarianza della convessita'. Il teorema di Huisken sulla convergenza a un punto di ipersuperfici convesse. Formula di monotonia. Classificazione delle singolarita' per ipersuperfici a curvatura media positiva.
Flusso di Ricci: definizione ed esempi. Flusso di Ricci: Soluzioni autosimilari (solitoni). Esistenza locale di soluzioni. Condizioni sulla curvatura invarianti nel flusso. Varieta' tridimensionali con curvatura di Ricci positiva. Disuguaglianza di Hamilton-Ivey. Classificazione delle singolarita' in dimensione tre. Il programma di Hamilton per la congettura di Thurston.

Prossime lezioni

La prossima (e ultima) lezione si terrà martedì 25 maggio, alle ore 14:30, in aula 14.

Bibliografia

Geometria riemanniana
M.P. Do Carmo: Riemannian Geometry. Birkhäuser, 1992
S. Gallot, D. Hulin, J. Lafontaine: Riemannian Geometry. Springer, 2004
J.M. Lee, Riemannian Manifolds, Springer 1997.

Equazioni paraboliche
Nei libri citati sotto sul flussi di Ricci sono generalmente riassunti i risultati generali sulle equazioni paraboliche che si utilizzano nella teoria. Sul principio di massimo, una buona trattazione e' nel cap. 4 del libro di Chow-Knopf citato sotto.

Moto per curvatura media
K. Ecker: Regularity theory for mean curvature flow. Birkhäuser, 2004.
M. Ritorè, C. Sinestrari: Mean curvature flow and isoperimetric inequalities. Birkhäuser, 2010.
G. Huisken: Flow by mean curvature of convex surfaces into spheres. J. Differential Geometry 20 (1984), 237--266. L'articolo si puo' ottenere qui (se collegati da server universitari).

Flusso di Ricci
R. Hamilton: Three-manifolds with positive Ricci curvature, J. Differential Geom., 17 (1982), 255-306. L'articolo si puo' ottenere qui .
R. Hamilton, The formation of singularities in the Ricci flow. Surveys in differential geometry, Vol. II (Cambridge, MA, 1993), 7--136, Int. Press, Cambridge, MA, 1995.
H.-D. Cao, B. Chow: Recent developments on the Ricci Flow, Bull. Amer. Math. Soc. 36 (1999), 59--74. (articolo di rassegna sul programma di Hamilton, che riassume la situazione prima degli articoli di Perelman). Il preprint è disponibile qui .
B. Chow, D. Knopf: The Ricci flow: an introduction. Mathematical Surveys and Monographs, 110. AMS, 2004.
B. Chow, P. Lu. L. Ni: Hamilton's Ricci flow. AMS, 2006.
P. Topping: Lectures on the Ricci flow. Cambridge Univ. Press, 2006. Una versione preliminare del libro è disponibile sulla pagina web dell'autore.

Infine, le note Geometric evolution equations , di O. Schnürer trattano argomenti simili a quelli del nostro corso.