Equazioni Differenziali, LS in Matematica
Il corso di Equazioni Differenziali si rivolge agli studenti della Laurea Specialistica (in Matematica o Matematica Applicata).
Prerequisiti: è necessario aver seguito il corso di CAM.
Programma d'esame a.a. 2007-08:
1. Richiami: spazi di Hilbert, spazi riflessivi, topologia debole. Minimizzazione di funzionali in spazi riflessivi.
2. Distribuzioni (cenni). Definizione e proprietà degli spazi di Sobolev: approssimazione per convoluzione, disuguaglianze di Sobolev e Poincare, teoremi di immersione e compattezza. Esempi di equazioni ellittiche: formulazione debole del problema di Dirichlet per l'operatore di Laplace, esistenza di soluzioni in spazi di Sobolev, regolarità L^2 delle derivate (metodo delle traslazioni). Metodo di continuità e Teorema di Lax-Milgram. Problema degli autovalori (cenni).
3. Minimizzazione di funzionali in spazi di Sobolev: convessità e semicontinuità inferiore (debole), teorema di De Giorgi sulla semicontinuità, teorema di esistenza di minimi. Equazione di Eulero.
Limitatezza dei minimi. Esempi ed esercizi.
4. Metodi di punto fisso; Teorema di Brouwer, Teorema di Schauder. Applicazioni del Teorema di Schauder: problema del resistore termico (facoltativo), esempi di applicazione nello studio di equazioni ellittiche.
Operatori monotoni: Teorema di Minty. Teoremi di esistenza (Leray-Lions) di soluzioni per equazioni ellittiche mediante l'uso del teorema di Schauder.
5. Capitolo facoltativo: regolarità Holderiana per soluzioni di equazioni ellittiche, metodo di Moser, lemma di John-Nirenberg e disuguaglianza di Harnack. Applicazione ai minimi di funzionali.
6. Principio del massimo per operatori lineari. Operatori ellittici generali (non in forma di divergenza): introduzione alla teoria delle soluzioni di viscosità. Esempi. L'equazione |Du|=1 e l'approssimazione con viscosità evanescente. Teorema di esistenza: metodo di Perron.
Teorema di confronto per soluzioni di viscosità: operatori del prim'ordine, metodo del raddoppio di variabili. Funzioni semiconvesse e approssimazione con sup-convoluzione, teorema di confronto per operatori del second'ordine.
Materiale didattico:
L'articolo di
J.Leray-J.L. Lions (Teorema di Minty e applicazioni)
Alcuni esercizi
sugli argomenti svolti
Le date degli esami per le sessioni di giugno-luglio e di settembre vanno concordate. A tale scopo contattatemi per e-mail: porretta@mat.uniroma2.it