An introduction to Nonlinear Analysis
Roma "Tor Vergata" PhD School - 2017


La matematica è una delle manifestazioni più significative dell'amore per la sapienza. Come tale è caratterizzata da un lato da una grande libertà, dall'altro dall'intuizione che il mondo è fatto di cose visibili e invisibili e la matematica ha forse una capacità, unica fra le altre scienze, di passare dall'osservazione delle cose visibili all'immaginazione delle cose invisibili. Questo forse è il segreto della forza della matematica.  (E. De Giorgi)


Questo corso "elementare" ha dato delle nozioni utili per iniziare a muoversi nell'Analisi non Lineare e delle prime idee su alcuni metodi variazionali.


Pagina aggiornata al 9 giugno 2017


Programma

Programma svolto:
  • Premesse - problemi variazionali: richiami sul calcolo differenziale in spazi di Banach e sugli spazi di Sobolev, operatori di Nemitskii, proprietà spettrali dell'operatore di Laplace, punti critici di funzionali (liberi e vincolati), problemi di tipo ellittico riconducibili alla ricerca di punti critici vincolati.
  • Metodi topologici del Calcolo delle Variazioni: Nozione di retratto di deformazione, condizione di Palais-Smale, lemma di deformazione, teorema del passo montano e applicazioni a problemi ellittici semilineari sottocritici.
  • Risultati di non esistenza di soluzioni per problemi con nonlinearità critica (Identità di Pohozaev) o su domini illimitati. Risultati di molteplicità di soluzioni positive vs topologia del dominio. Il principio di concentrazione e compattezza nel caso localmente compatto.


    Calendario

    3 maggio: Equazione di Schrödinger --> problemi ellittici, differenziale di Fréchet e di Gâteaux in spazi di Banach.
    5 maggio: Disuguaglianza di Lagrange e teorema del differenziale totale, derivate successive ed un esempio di calcolo in uno spazio funzionale, teorema di inversione locale ed una applicazione ad equazione non lineare (idea delle teorie perturbative); primi richiami sugli spazi di Sobolev.
    10 maggio: Richiami sugli spazi di Sobolev; definizione di operatore di Nemitskii.
    12 maggio: Proprietà degli operatori di Nemitskii.
    15 maggio: Operatori di Nemitskii: un caso "sorprendente"; immediata deduzione delle condizioni di crescita necessarie per l'esistenza di derivate successive. Spettro dell'operatore di Laplace.
    19 maggio: Esempi di spettro per l'operatore di Laplace. Formulazione variazionale del nostro problema modello e prime condizioni di crescita che garantiscono l'esistenza di soluzioni. Minimi vincolati e applicazioni. Un problema di autovalori e proprietà del primo autovalore dell'operatore di Laplace.
    24 maggio: Applicazioni della caratterizzazione variazionale primo autovalore, esempi di applicazione del metodo dei minimi vincolati a problemi non coercivi. Idea della bifocazione con un esempio.
    26 maggio: Introduzione ai metodi topologici: condizione di Palais-Smale, lemma di deformazione, teorema del passo montano.
    30 maggio: Un'estensione del teorema del passo montano. Applicazione del teorema del passo montano ad equazioni ellittiche.
    31 maggio: Risultati di non esistenza di soluzioni per problemi con nonlinearità critica (identità di Pohozaev) o su domini illimitati. Risultati di molteplicità di soluzioni con metodi topologici: genere di Krasnoselski, categeoria di Lusternik-Schnirelmann.
    6 giugno: Un risultato che lega topologia dominio a molteplicità soluzioni positive di un'equazione ellittica semilineare: la tecnica dei baricentri.
    7 giugno: Il principio di concentrazione e compattezza nel caso localmente compatto: presentazione del risultato e qualche idea sui suoi campi di applicazione.