Periodo: 3 marzo -12 giugno 2020
Orario delle lezioni
| Martedì | ore 11:00-13:00 | Aula 16 |
| Giovedì | ore 11:00-13:00 | Aula 16 |
| Venerdì | ore 9:10-11:00 | Aula 29A |
Lezioni on-line per emergenza covid-19:
dall'11 marzo i martedì, giovedì e venerdì alle 11 su
Teams.
Distinta delle lezioni con
riferimento ai testi
(se non indicato diversamente al libro di
G.Leoni)
Lezione 1 (3 marzo). Funzioni monotone su intervalli di R:
continuità, differenziabilità quasi ovunque. Conseguenze. La
funzione di Cantor. Variazione.
Lezione 2 (3 marzo). Funzioni a
variazione puntuale limitata BPV(I) e loro relazione con
funzioni monotone, Lipschitz, Hölder. Esempi. [Capitolo 1,
Sezione 2.1]
Lezione 3 (11 marzo). Variazione
positiva e negativa. Variazione puntuale e sue proprietà. Ogni
funzione BPV si scrive come differenza di funzioni monotone.
[Sezione 2.2]
Lezione 4 (11 marzo).
Relazione tra derivata quasi ovunque e variazione puntuale.
[Sezione 2.3]
Lezione 5 (13 marzo). Struttura dello
spazio BPV come spazio di Banach. Teorema di Helly [Sezioni 2.4
e 2.5]
Lezione 6 (13 marzo).
Funzioni assolutamente continue. Relazioni con Lipschitzianità.
Esempi. Le funzioni AC sono BPV [Sezione 3.1]
Lezione 7 (17 marzo). Risultati ausiliari
per la dimostrazione del teorema fondamentale del calcolo per
funzioni AC. [Sezione 3.2]
Lezione 8 (17 marzo). Il teorema
fondamentale del calcolo. Scomposizione di funzioni BPV in parte
assolutamente continua, di salto e cantoriana. Funzioni
singolari. [Teorema 3.20. Sezione 3.7]
Lezione 9 (19 marzo). Spazi di Sobolev
come sottospazi di AC_loc. Proprietà. Diseguaglianza di
Poincarè. [Sezione 7.2]
Lezione 10 (19 marzo). Spazi di
Sobolev: definizione tramite l'introduzione del concetto di
derivata debole. Equivalenza delle due definizioni modulo
uguaglianza q.o. [Sezione 7.2]
Lezione 11 (20 marzo). Spazi di
Sobolev - definizione per approssimazione. Derivate deboli di
ordine superiore. Spazi di Sobolev di ordine m [Sezione 7.2]
Lezione 12 (20 marzo). Alcune
diseguaglianze di interpolazione. [Teorema 7.34]
Lezione 13 (24 marzo). Il teorema
di Rademacher [Teorema 9.14]
Lezione 14 (24 marzo). Definizione dello
spazio delle funzioni test e delle distribuzioni. Ordine di una
distribuzione. Le distribuzioni positive hanno grado zero.
[Sezioni 10.1 e 10.2]
Lezione 15 (26 marzo). Le distribuzioni
di grado zero sono misure di Radon. Derivate di distribuzioni.
Rappresentazione locale di distribuzioni come derivate di
funzioni (solo enunciato). [Teorema 10.13, Sezione 10.3]
Lezione 16 (26 marzo). Convoluzione
di distribuzioni. La convoluzione di una distribuzione è una
funzione. Convergenza nel senso delle distribuzioni. Ogni
distribuzione si approssima con funzioni C^infinito. [Sezione
10.6]
Lezione 17 (27 marzo). Definizione
di spazi di derivate deboli e di Sobolev in dimensione
qualunque. Esempi. Loro struttura come spazi di Banach. [Sezione
11.1]
Lezione 18 (27 marzo). Il teorema di
Meyers e Serrin (approssimabilità con funzioni C^infinito di un
aperto) [Teorema 11.24]
Lezione 19 (31 marzo).
Approssimabilità con funzioni C^infinito
di tutto lo spazio (caso di un sottografico di una funzione
continua) [Teorema 11.35]
Lezione 20 (31 marzo). Partizioni
dell'unità. Approssimabilità con
funzioni C^infinito di tutto lo spazio
(caso di un insieme con frontiera di classe C^0) [Teorema C.21,
Teorema 11.35]
Lezione 21 (2 aprile). Approssimabilità di funzioni nello spazio W^{1,p} con
funzioni affini a tratti. [Teorema 11.40]
Lezione 22 (2 aprile). Caratterizzazione
per sezioni di W^{1,p}. [Sezione 11.23]
Lezione 23 (3 aprile). Caratterizzazione del duale di W^{m,p} [Sezione 11.24]
Lezione 24 (3 aprile). Convergenza debole
in W^{m.p}. Compattezza debole dei limitati. [Sezione 11.24]
Lezione 25 (7 aprile). Il
lemma di Riemann-Lebesgue in W^{1,p}.
[BD, Sezione 2.2]
Lezione 26 (7 aprile). Semicontinuità
debole di funzionali integrali in W^{1,p}.
Condizioni necessarie. [BD, Capitolo 4]
Lezione 27 (9 aprile). Semicontinuità debole di funzionali integrali in W^{1,p} e convessità. [BD, Sezione 5.1]
Lezione 28 (9 aprile). Il duale di
W^{m,p}_0. La convergenza debole* in W^{m,infinito} [Sezione 11.24]
Lezione 29 (10 aprile). Caratterizzazione
di W^{1,p} mediante le traslazioni
[Sezione 11.25]
Lezione 30 (14 aprile). La diseguaglianza
di Sobolev-Gagliardo-Nirenberg (lemma preliminare) [Capitolo 12.
Introduzione e sezione 12.1, Lemma 12.6]
Lezione 31 (14 aprile). La diseguaglianza
di Sobolev-Gagliardo-Nirenberg (dimostrazione) [Sezione 12.1,
Teorema 12.4]
Lezione 32 (16 aprile). Immersione di Sobolev W^{1,p} [Teorema 12.4, seconda parte]
Lezione 33 (16 aprile). Domìni di
estensione per W^{1,p}. Il teorema di Rellich-Kondrachov
[Teorema 12.18]
Lezione 34 (17 aprile). I domìni
uniformemente Lipschitz sono domìni di estensione [variante del
Teorema 13.4 sulle strisce; versione semplificata del Teorema
13.17]
Lezione 35 (21 aprile). Conseguenze
del teorema di Rellich. Norme equivalenti in W^{1,0}_0.
Diseguglianze di Poincaré. Definizione di capacità. [Section
13.2]
Lezione 36 (21 aprile).
Osservazioni sulla capacità. Teorema di semicontinuità per
funzioni con integrando f(x,u,Du), convesso in Du. [E, Sezione
8.2.2]
Lezione 37 (23 aprile). Lemma sul
cambiamento delle condizioni al bordo in successioni debolmente
convergenti. Equivalenza delle condizioni necessarie per la
semicontinuità debole di funzionali su funzioni vettoriali
(quasiconvessità) [BD, Sezione 11.1]
Lezione 38 (24 aprile). Il teorema di
semicontinuità di Morrey [BD, Sezione 5.3]
Lezione 39 (28 aprile). Esistenza ed
unicità di soluzioni di problemi di minimo per funzionali
integrali [E, Sezione 8.2.2]
Lezione 40 (28 aprile). Soluzioni
deboli di equazioni di Eulero-Lagrange [E, Sezione 8.2.3]
Lezione 41 (5 maggio). Inclusione di
W^{1,p} con p>N nelle funzioni 1-p/N Hölderiane. [Sezione
12.3]
Lezione 42 (5 maggio). Compattezza
dell'immersione nelle funzioni Hölderiane. Differenziabilità
quasi ovunque delle funzioni W^{1,p} con p>N. Immersione di
W^{1,N} in BMO. Esempio di una funzione illimitata in W^{1,N}
(non-immersione di W^{1,N} in L^infinito per N>1). [Sezione
12.3 e 12.2]
Lezione 43 (7 maggio). Continuità debole
dei determinanti. Teorema di semicontinuità per integrali
policonvessi. [BD, Sezione 5.2]
Lezione 44 (8 maggio). Regolarità interna
di soluzioni deboli (stime locali per le derivate seconde) [E,
Sezione 8.3.1]
Lezione 45 (12 maggio). Definizione di
traccia di funzioni di Sobolev su aperti Lipschitz. [Sezione
18.2]
Lezione 46 (12 maggio). Alcune proprietà
della traccia: formule di integrazione per parti, compattezza,
caratterizzazione di W^{1,p}_0 come funzioni a traccia nulla. [Sezione 18.2]
Lezione 47 (13 maggio). Equazioni lineari
paraboliche. Formulazione in spazi L^2 dipendenti dal tempo. [E,
Sezione 7.1.1]
Lezione 48 (14 maggio). Esistenza di
soluzioni di equazioni paraboliche usando il metodo di
Faedo-Galërkin. [E, Sezione 7.1.2]
Lezione 49 (19 maggio). Breve
introduzione alla teoria dei semigruppi. Semigruppi
omega-contrattivi. Generatori e loro proprietà. [E, Sezione
7.4.1]
Lezione 50 (19 maggio). Insieme e operatori risolventi. Il teorema di Hille-Yosida. Applicazione all'esistenza di soluzioni H^2 di equazioni paraboliche. [E. Sezione 7.4.2 e 7.4.3a]
Lezione 51 (21 maggio). Flussi gradiente.
Il metodo di Eulero implicito per la soluzione approssimata di
flusso gradiente. Esistenza del limite delle soluzioni
approssimate.*
Lezione 52 (22 maggio). Esistenza per equazioni di flusso gradiente in L^2 e applicazione alla soluzione di equazioni paraboliche nonlineari.*
Lezione 53 (26 maggio). Funzioni a variazione limitata. Variazione totale. Insiemi di perimetro finito. Variazione di una funzione L^1_loc [Sezione 14.1]
Lezione 54 (26 maggio). Confronto tra
funzioni BV e BPV. Densità in variazione totale delle funzioni
C^infinito. [Sezione 14.2]
Lezione 55 (28 maggio). Chiusura debole
delle funzioni BV. Teoremi di immersione e di compattezza di BV
in spazi di Lebesgue. [Sezione 14.5]
Lezione 56 (29 maggio). Gli insiemi a
perimetro finito sono un sottoinsieme chiuso di BV. Esempi di
problemi di minimo perimetro. Diseguaglianze di Poincaré. [Sezione 14.5]
Lezione 57 (4 giugno). La
diseguaglianza isoperimetrica [Teorema 14.44]
Lezione 58 (4 giugno). La formula di coarea in BV. [Sezione 14.4]
Lezione 59 (5 giugno). Equivalenza della
diseguaglianza isoperimetrica e della diseguaglianza
di Sobolev-Gagliardo-Nirenberg. Densità degli insiemi regolari
negli insiemi di perimetro finito. [Teorema 14.45, Sezione 14.6]
Lezione 60 (5 giugno). Tracce di
funzioni BV. Esempio di insieme di perimetro finito denso in R^N
[Sezione 18.3, Esercizio 14.8]
Lezione 61 (9 giugno). Complementi - I:
Misure di Haurdorff [Section C.7]
Lezione 62 (9 giugno). Complementi
- II: Struttura degli insiemi di perimetro finito (senza
dimostrazione)**
Lezione 63 (11 giugno). Complementi - III:
Continuità e differenziabilità approssimata. Rappresentazione
della parte assolutamente continua della derivata di una
funzione BV. **
Lezione 64 (12 giugno). Complementi - IV: Rappresentazione della parte singolare della derivata di una funzione BV in parte di salto e parte cantoriana. **
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