Analisi Matematica II (prof. Braides) per Chimica Applicata e Scienza dei Materiali
a.a. 2019-2020

AVVISO: Su Dephi trovate ora le diverse prenotazioni a seconda dei crediti. Siete pregati di iscrivervi alla prenotazione relativa all'esame del vostro piano di studi

Modalità dell'esame (fino alla fine dell'emergenza covid-19)
L'esame consiste in due parti, entrambe in modalità telematica:
- esame scritto (ammissione all'orale)
- esame orale.
Verranno istituiti "Team" appositi a cui potrano accedere gli iscritti all'esame e (per l'esame orale) anche il pubblico, richiedendo l'accesso al docente.

Per la prova scritta occorre munirsi di un collegamento internet e di un dispositivo con telecamera e microfono. Inoltre bisogna mostrare (in video o via chat) un documento (per esempio il libretto universitario) di modo che si possano confermare chiaramente le generalità del candidato. Ai candidati verranno inviate istruzioni su come collegarsi a Teams, e dovranno posizionare la telecamera in modo da essere inquadrati durante la prova. L'esame scritto consterà di un testo con 15 brevi domande, a cui si deve rispondere in 90 minuti che verrà inviato al momento dell'esame (modalità 3 "Prova scritta su foglio di carta" delle Linee Guida dell'Ateneo, che vi consiglio di leggere). È possibile consultare libri e appunti, ma non comunicare con altre persone. Entro lo scadere del tempo bisogna produrre dei file pdf o immagine del proprio elaborato e caricarli sulla pagina di Teams secondo le modalità che verranno indicate.
Gli scritti verranno corretti in maniera comparativa (ovvero, avranno un punteggio maggiore le domande a cui pochi avranno risposto). Nel caso di scarsa affluenza ci sarà solo un elenco di ammessi all'orale, altrimenti ci sarà una divisione ulteriore (eccellente, buono, sufficiente, non ammesso). Lo scritto vale solo per la prova orale corrispondente.

Per la prova orale, come per lo scritto, bisogna collegarsi restando inquadrati a mezzo busto. Assicuratevi di avere una connessione stabile e i mezzi per inviare dei file o delle foto, o una telecamera sufficientemente buona da inquadrare in modo intelligibile dei fogli scritti. Verranno inviati  degli esercizi, tramite chat, da svolgere in un tempo dato, la cui soluzione deve venire inquadrata o, in caso di scarsa definizione, inviata sulla chat di Teams o al mio indirizzo braides@mat.uniroma2.it. La prova orale poi partirà dallo svolgimento degli esercizi
 
Si potrà assistere all'esame, ma ricordo che per disposizione rettorale è vietato registrare le prove d'esame, pena l'annullamento dell'esame stesso ed eventuali provvedimenti degli uffici rettorali.

Orario delle lezioni
Mercoledì 11-13 (aula L5)
Giovedì 14-16 (aula L5)
Lezioni online dal 12 marzo: i mercoledì alle 11 e i giovedì alle 14 su Teams
 
Tutorato
Venerdì 14-16 (aula L5)
Tutoraggio in streaming dal 13 marzo: il dottor Tribuzio effettuerà il tutorato su Teams nell'orario usuale di venerdì dalle 14 alle 16
 
Distinta delle lezioni

Lezioni 1 e 2 (4 marzo). Funzioni (scalari/vettoriali) di più variabili reali. Modulo o norma di un vettore. Distanza tra punti. Palle in Rⁿ. Insiemi aperti e chiusi. Frontiera, chiusura, interno di un insieme. Esempi. Limiti di successioni in Rⁿ. Successioni infinitesime, convergenti, divergenti. Esempi. Limiti in Rⁿ. Funzioni continue. Le funzioni f(x,y)=x, f(x,y)=y sono continue. Continuità delle espressioni che coinvolgono x, y e funzioni continue di una variabile reale. Gli insiemi del tipo {(x,y): f(x,y)<0} sono aperti se f:R²--> R è continua. Esempi.

Lezioni 3 e 4 (12 marzo). Esempi di insiemi nel piano e nello spazio.

Lezioni 5 e 6 (18 marzo). Esempi di insiemi nello spazio. Definizione di limite per funzioni di più variabili.

Lezioni 7 e 8 (19 marzo). Calcolo di limiti in due dimensioni tramite le coordinate polari. Derivate direzionali e derivate parziali.

Lezioni 9 e 10 (25 marzo). Differenziabilità. Continuità e derivabilità direzionale delle funzioni differenziabili. Formula del gradiente. Esempi di funzioni non differenziabili ma derivabili direzionalmente o parzialmente. Equazione del piano tangente. Direzione di massima pendenza. Teorema del differenziale totale. Formalismo df per il differenziale ed esempi del suo uso per gustificare alcune formule di derivazione di funzioni composte.

Lezioni 11 e 12 (26 marzo). Derivate seconde e derivate di ordine superiore. Matrice Hessiana. Il teorema di Schwarz.  Simmetria della matrice Hessiana. Funzioni di classe C^m. Polinomi di Taylor di ordine m. Punti stazionari di funzioni C^2 e loro classificazione (minimi locali, massimi locali, punti di sella).

Lezioni 13 e 14 (1 aprile). Caratterizzazione delle matrici simmetriche con determinante non nullo in dimensione 2 e applicazione alla caratterizzazione dei punti stazionari. Esempi ed esercizi.

Lezioni 15 e 16 (2 aprile). I teoremi di Bolzano-Weierstrass e di Weierstrass in più variabili. Applicazioni all determinazione di massimi e minimi assoluti.

Lezioni 17 e 18 (8 aprile). Esercizi su massimi e minimi assoluti su insiemi con frontiera parametrizzabile. Definizione di curva e concetti collegati (sostegno, vettore velocità, punti regolari, vettore direzione). Esempi

Lezioni 19 e 20 (9 aprile). Equazione della retta tangente al sostegno in un punto regolare. Curve semplici e curve chiuse. Insiemi rappresentabili come curve nell'intorno di un loro punto (rappresentazione locale come curve). Il teorema di Dini (condizione sufficiente per la rappresentazione locale come curva grafico di una delle variabili). Equazione della retta tangente ad una curva di livello in un punto in cui non si annulla il gradiente.

Lezioni 21 e 22 (15 aprile). Applicazioni del teorema di Dini. Estensione del teorema di Dini a dimensione maggiore di 2. Il metodo dei moltiplicatori di Lagrange. Esempi ed esercizi.

Lezioni 23 e 24 (16 aprile). Esempi di applicazioni del metodo dei moltiplicatori di Lagrange.  Lunghezza di una curva. Curve rettificabili. Lunghezza di una curva C^1. Curve equivalenti. Cambiamenti di parametro. Verso di percorrenza di una curva. Invarianza della lunghezza per cambiamento di parametro.

Lezioni 25 e 26 (22 aprile). Esercizi di calcoli di lunghezze di curve. Integrali di linea di una funzione scalare (integrali di prima specie). Loro invarianza per cambiamento di parametro. Esercizi su integali di linea.

Lezioni 27 e 28 (23 aprile). Esercizi di integrali di linea. Lavoro di un campo (o integrale di una forma differenziale). Esempi. Proprietà dell'integrale di campi vettoriali. Potenziale, campi conservativi e irrotazionali (o forme esatte e chiuse). Un campo conservativo è irrotazionale.

Lezioni 29 e 30 (29 aprile). Esercizi su campi conservativi e irrotazionali. Condizioni equivalenti ad essere un campo conservativo su un aperto connesso. Equivalenza tra essere un campo conservativo e irrotazionale su aperti connessi.

Lezioni 31 e 32 (30 aprile). Esercizi su campi conservativi e irrotazionali in due e tre dimensioni.

Lezioni 33 e 34 (6 maggio). Integrali doppi. Definizione (integrale su un rettangolo). Teorema di riduzione. Esempi. Integrali su insiemi qualsiasi. Misura (area) di un insieme.

Lezioni 35 e 36 (7 maggio). Esercizi su integrali doppi. Regole utili per il calcolo.

Lezioni 37 e 38 (13 maggio). Cambiamenti di variabile negli integrali doppi. Cambiamenti di variabile affini. Cambiamento di variabile in coordinate polari.

Lezioni 39 e 40 (14 maggio). Esercizi su calcolo di integrali mediante cambiamenti di variabili. Le formule di Green nel piano.

Lezioni 41 e 42 (20 maggio). Versioni delle formule di Green tramite il rotore e la divergenza di un campo nel piano. Breve introduzione agli integrali tripli in analogi agli integrali doppi. Formule di riduzione: integrazione per fili e integrazione per strati. Esempi.

Lezioni 43 e 44 (21 maggio). Esercizi di integrazione per strati. Formule per il volume dei solidi di rotazione. Esercizi.

Lezioni 45 e 46 (27 maggio). Cambiamenti di coordinate negli integrali tripli. Coordinate sferiche e cilindriche.

Lezioni 47 e 48 (28 maggio). Superfici elementari in R^3. Esempi: sfera, superfici cartesiane. Bordo di una superficie. Piano tangente. Versore normale (espresso tramite prodotto vettore di vettori tangenti). Superfici orientate. Esempio: il nastro di Möbius non è orientabile. Orientabilità delle superfici cartesiane. Elemento di superficie di una superficie elementare. Integrale su superficie. Area di una superficie. Esempi. Esercizi.

Lezioni 49 e 50 (3 giugno). Integrale del flusso di un campo su una superficie. Esempi ed esercizi. Divergenza di un campo. Campi solenoidali. Il rotore di un campo è solenoidale (e viveversa per domini "senza buchi"). Teorema della divergenza o di Gauss. Esempi ed esercizi.

Lezioni 51 e 52 (4 giugno). Teorema del rotore o di Stokes. Esempi ed esercizi.

Lezioni 53 e 54 (10 giugno). Esercizi di ripasso su insiemi, continuità, calcolo differenziale, curve e insiemi definiti implicitamente.

Lezioni 55 e 56 (11 giugno). Esercizi di ripasso su integrali doppi, tripli e di superficie.
 


I fogli di esercizi si trovano sulla pagina Microsoft Teams del corso