Analisi Matematica 5  a.a. 2018-2019 (Prof. Braides)

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Breve descrizione del corso

Metodi classici del Calcolo delle Variazioni. Derivazione delle equazioni di Eulero-Lagrange, ed esempi di loro soluzioni per problemi classici. Esempi di non esistenza.
Metodi diretti del Calcolo delle Variazioni. Introduzione alle soluzioni deboli, agli spazi di Sobolev e alla teoria delle distribuzioni. Convergenze deboli e proprietà di semicontinuità. Teoremi di esistenza. Ruolo della convessità.
Problemi con mancanza di esistenza. Soluzioni generalizzate e rilassamento. Applicazioni.
Cenni a nozioni di convergenza di funzionali.

Prerequisiti: elementi di equazioni differenziali ordinarie, integrale di Lebesgue

Distinta delle lezioni (ognuna di due ore)

1. (5 marzo) Esempi di problemi di massimo e minimo: determinazione degli autovalori di una matrice simmetrica mediante il calcolo del massimo di una forma bilineare, soluzione del problema di Didone (minimo perimetro data l'area di un insieme del piano) tra insiemi regolari, calcolo analitico di tutti i minimi della lunghezza (curve geodetiche), e del minimo dell'integrale del quadrato della velocità di una traiettoria tra due punti. Altri esempi: la brachistocrona, l'integrale di Dirichlet, il principio di Fermat. Enunciato del problema standard del calcolo delle variazioni per funzionali integrali.

2 (7 marzo). Funzioni infinitamente derivabili a supporto compatto (con esempio). Variazione prima di un funzionale. Forme integrali delle equazioni di Eulero-Lagrange. Lemma fondamentale del calcolo delle variazioni (primo caso: funzioni continue). Lo spazio L^1 delle funzioni sommabili. Convoluzioni. Nuclei di convoluzione, approssimabilità di funzioni sommabili con funzioni infinitamente derivabili a supporto compatto. Lemma fondamentale del calcolo delle variazioni (caso generale: funzioni sommabili).

3 (8 marzo). Ripasso sulle proprietà fondamentali dello delle spazio funzioni sommabili. Ulteriori osservazioni sull'approssimazione per convoluzione (in particolare per funzioni affini a tratti). Dimostrazione alternativa del lemma fondamentale del calcolo delle variazioni per funzioni sommabili. Lemma di Du Bois-Reymond. Equazioni di Eulero-Lagrange in forma differenziale.

4 (12 marzo). Enunciato generale di validità delle equazioni di Eulero-Lagrange con varie condizioni al bordo. Esempi: geodetiche e integrale di Dirichlet. Le equazioni di E-L per l'integrale di f(u') con f strettamente concava o convessa con dati di Dirichlet sono soddisfatte dalla sola funzione affine. Osservazione importante: gli estremi inferiori su insiemi di funzioni C^1 e C^1-a-tratti coincidono. Esempio di non esistenza con condizioni al contorno (iniziali) di Cauchy. La soluzione delle equazioi di E-L come condizione sufficiente nel caso convesso. Esempi di non-esistenza per funzionali non convessi.

5 (14 marzo). Esempi di non-esistenza in C^1 o in C^2 (mediante minimizzazione puntuale di un integrando). Esempio di Weierstrass. Non-esistenza di soluzioni dell'equazione di E-L per il problema delle superfici di rivoluzione. Esempio banale di non esistenza per l'integrale di -|u'|^2. Illimitatezza dei valori minimi per problemi di Dirichlet per l'integrale di |u'|^2-u^3, e di |u'|^2- u^2 con C opportunamente grande. Uso dela diseguaglianza di Poincaré per provare la limitatezza per C piccolo. Deduzione del C massimale per a limitatezza usando le equazioni di E-L.

6 (15 marzo). Esempio di esistenza per problemi quadratici con dati di Dirichlet mediante la soluzione delle equazioni di E-L. Altre condizioni al bordo (condizioni naturali, condizioni di Neumann). Sufficienza dell'esistenza di soluzioni dell'equazione di E-L con condizioni naturali per problemi di minimo per integrandi convessi. Esempio del funzionale quadratico. Il problema di Mumford-Shah per la ricostruzione di segnali (segmentazione ottimale).

7 (19 marzo). Esempio di esistenza per confronto con un funzionale convesso. Non-esistenza di soluzioni per problemi di minimo con termini lineariin u. Esempio di soluzioni per vari tipi di condizioni al bordo per un funzionale quadratico con un termine lineare in u. Condizioni periodiche. Minimi locali forti e deboli. Esempio di minimo  debole non forte: la funzione nulla per l'integrale di (u')^2-(u')^4. Condizione di Weierstrass per minimi locali forti.

8 (20 marzo). Esempio di minimi locali forti e deboli per problemi con condizioni di Dirichlet. Condizione di Lagrange per minimi locali deboli. Funzioni con gradiente periodico, e loro convergenza uniforme. Interpretazione della condizione di Weierstrass.

9 (22 marzo). Forma di Erdmann delle equazioi di E-L. Esempio di calcolo di soluzione di problema di minimo mediante de equazioni in forma Erdmann. Varie generalizzazioni delle equazioni di E-L: per funzioni vettoriali, per derivate di ordine superiore, per funzioni di più variabili. Introduzione al metodo diretto. Funzioni semicontinue inferiormente. Il teorema di Weierstrass per funzioni s.c.i. L'estremo suoeriore di una famiglia di funzioni s.c.i. è s.c.i.  Ogni funzione s.c.i. (positiva) è estremo superire di una famiglia di funzioni Lipschitziane.

10 (26 marzo). Problemi di minimo con integrali non dipendenti dalle derivate. Spazi di Lebesgue. Teoremi noti di convergenza (Beppo Levi, Lebesgue, Fatou) e loro varianti.
Norma e distanza. Continuità della norma. Funzionali lineari e continui su L^p. Esponente e spazio coniugato. Teorema di Riesz in L^p (solo enunciato). Completezza di L^p. Densità di funzioni C^\infty_0 e costanti a tratti. Separabilità di L^p con p finito. Non separabilità di L^\infty. Esempi di successioni limitate in L^p ma non convergenti: concentrazione eo scillazioni.

11 (28 marzo). Limiti di successioni oscillanti. Convergenza debole in spazi di Lebesgue. Cenni di teoria delle distribuzioni: definizione di distribuzione, esempi. Identificazione di funzioni L^1_loc con distribuzioni. La delta di Dirac. Convergenza nel senso delle distribuzioni. Esempi (convergenza alla delta di Dirac). Equivalenza della convergenza nel senso delle distribuzioni e convergenza debole per successioni limitate in norma (se p>1). Esempio: il lemma di Riemann-Lebesgue.  Compattezza debole dei limitati di L^p per p>1.

12 (29 marzo). Metrizzabilità dei limitati di L^p (per p>1). Caratterizzazione della norma come sup di funzionali lineari. Semicontinuità debole della norma. Equivalenza di convergenza forte e convergenza delle norme per successioni debolmente convergenti. Controesempi nel caso p=1 e p=\infty. Funzionali integrali: necessità e sufficienza della convessità per la semicontinuità inferiore. I soli funzionali integrali continui sono i funzionali affini.

13 (2 aprile). Cenni sulla convergenza debole in spazi di Hilbert. `Unicità' degli spazi di Hilbert separabili. Interpretazione della convergenza debole per successioni limitate come la convergenza delle componenti. Esempi e controesempi. Esempi motivazionali su problemi con derivate e convergenza debole.

14 (4 aprile). Derivata nel senso delle distribuzioni. Esempi. Derivata debole. Compatibilità della derivata debole con la convergenza debole. Spazi di Sobolev W^{1,p}. Convergenza debole in spazi di Sobolev. Pre-compattezza debole dei limitati in spazi di Sobolev per p>1. Definizione equivalente di convergenza debole richiedendo solo la limitatezza delle derivate deboli in L^p. Caso unidimensionale: il teorema fondamentale del calcolo per le derivate deboli.

15 (5 aprile). 1/p'-Hölderianità delle funzioni in W^{1,p}. Non-compattezza dello spazio W^{1,1}. Definizione di spazi di Sobolev H^{1,p}. Equivalenza delle definizioni H e W (per p<\infty). 

16 (9 aprile). Teorema di Rellich (solo enunciato in dimensione >1). Diseguaglianze di Poincaré (con dati al bordo e media) e applicazioni all'esistenza di problemi di minimo. Costante di Poincaré ottimale in dimensione 1 per p=2. Lo spazio W^{1,p}_0.

17 (11 aprile). Enunciato di un teorema generale di esistenza (prendendo come caso modello somme di funzionali che dipendono da u e gradiente di u separatamente). Osservazioni sulla ottimalità delle condizioni. Teorema dei moltiplicatori di Lagrange per funzionali. Esempio; caratterizzazione variazionale degli autovalori del Laplaciano.

18 (12 aprile). Esempio (mezzi disomogenei): calcolo di minimi per funzionali quadratici a coefficienti disomogenei. Media armonica. Esempio (omogeneizzzione): calcolo del limite per problemi quadratici con coefficienti oscillanti. Esempio (analisi numerica): approssimazioni alle differenze finite. Equazioni di E-L discrete.

19 (16 aprile). Esempio (perturbazione singolare): caratterizzazione dei limiti dei minimi di problemi non-convessi perturbati.

20 (17 aprile). Esempio (evoluzione quasistatica): un modello di "danneggiamento" caratterizzato da problemi di minimo parametrizzati da condizioni al bordo variabili.

21 (23 aprile). Lo schema di Eulero implicito: limiti di soluzioni discrete di flussi gradiente ottenute per minimizzazioni iterate. Una variante del teorema di Ascoli-Arzelà. Un teorema di esistenza per schemi di Eulero impliciti. Esempi.

22 (30 aprile). Esempi di convergenza dello schema di Eulero: equazioni ordinarie, l'equazione del calore in un dominio limitato. Inviluppo semicontinuo di un funzionale e sue caratterizzioni. Il teorema di Weierstass per problemi rilassati.

23 (2 maggio). Alcune proprietà dell'inviluppo semicontinuo. Esempio. Definizione per rilassamento. Rilassamento di condizioni al bordo. Esempio di Weierstrass. Il teorema di rilassamento per funzionali integrali (scalari). Caratterizzazione dell'inviluppo convesso tramite l'inf su combinazioni convesse.

24 (3 maggio). Stabilità per perturbazioni continue. Compatibilità delle condizioni al bordo e convergenza debole in W^{1,p}. Esempio di Bolza. Esempio: rilassamento delle condizioni al bordo in W^{1,1}. Esempio: il problema di Newton del solido di minima resistenza all'aria. Esempio (integake di (det Du)^2): in generale il convessificato non dà il rilassato per problemi vettoriali.

Orario delle lezioni

Appunti
Dispense del prof. Gobbino